2019年高考数学总复习专题指数与指数函数导学案理.docx

第五节指数与指数函数最新考纲1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.了解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.知识梳理1.根式(1)根式的概念若 xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数(2)a的n次方根的表示xna(3)两个重要公式：()na (n1，且nN)n为偶数且n1.2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂： (a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂： (a0，m，nN*，且n1)；正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质amanamn(a0，m，nQ)；(am)namn(a0，m，nQ)；(ab)mambm(a0，b0，mQ)3.指数函数及其性质(1)概念；函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0，且a1)的图象经过点(1,3)，则f(2)_.【答案】【解析】依题意可知a13，解得a，所以f(x)x，所以f(2)2.(2)函数y的定义域为_. 【答案】 0，)【解析】要使函数有意义，需满足1x0，得x0. (3)函数f(x)1e|x|的图象大致是()【答案】A【解析】f(x)1e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|1，f(x)的值域为(，0，因此排除B、C、D，只有A满足.(4)当k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？【答案】当k0时，方程无解；当k0或k1时，方程有一解；当0k1时，方程有两解【解析】函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0k0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.【变式训练2】（1）函数y(a23a3)ax是指数函数，则有a_.【答案】2【解析】根据定义有a23a31，解得a2或a1(舍去)(2) 当a0且a1时，函数f(x)ax23的图像必过定点_【答案】(2，2)【解析】令x20，则x2，此时f(x)132，故函数f(x)ax23的图像必过定点(2，2) (3)方程2x2x的解的个数是_.【答案】1 【解析】方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.(4)(2017福建五校联考)定义运算ab则函数f(x)12x的图象是()【答案】A【解析】因为当x0时，2x1；当x0时，2x1.则f(x)12x图象A满足. (5)2017陕西西安模拟函数yax(a0，a1)的图象可能是()A B C D【答案】D【解析】当a1时1函数单调递增，且函数图象恒过点，因为011，故A，B均不正确；当0a1时，函数单调递减，且函数图象恒过点，因为10，故选D.考点三指数函数的性质及应用【例3】（1）已知a，b2，c，则下列关系式中正确的是()Acab BbacCacb Dab，所以，即ba0的解集是()Ax|x2 Bx|x4Cx|x6 Dx|x5【答案】D【解析】当x0时，由f(x)3x90得x2，所以f(x)0的解集为x|x2或x0的解集为x|x5选D.（3）设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3) B(1，)C(3,1) D(，3)(1，)【答案】C【解析】当a0时，不等式f(a)1可化为a71，即a8，即a3，因为03，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1可化为1，所以0a1.故实数a的取值范围是(3,1)，故选C.(4)如果函数ya2x2ax1(a0，a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为()A.B1 C3D或3【答案】D当0a1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，则ymax2214，解得a或(舍去)综上知，a3或a.(5)已知函数f(x).若a1，求f(x)的单调区间；若f(x)有最大值3，求a的值；若f(x)的值域是(0，)，求a的值.【答案】递增区间是(2，)，递减区间是(，2)； a1； a0。【解析】当a1时，f(x)，令ux24x3(x2)27.在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而y在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(2，)，递减区间是(，2).令h(x)ax24x3，y，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.由f(x)的值域是(0，)知，ax24x3的值域为R，则必有a0.规律方法(1)比较指数式的大小的方法是：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.【变式训练3】（1）(2015山东卷)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()AabcBacbCbacDbca【答案】C【解析】根据指数函数y0.6x在R上单调递减可得，0.61.50.60.60.601，而c1.50.61，bac. (2)(2015天津卷)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.cabC.acb D.cb0时，f(x)为增函数，log0.53log23，所以log25|log23|0，所以bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)，故bac，选B.(3)设函数f(x)则使得f(x)3成立的x的取值范围是_.【答案】(，27【解析】当x8时，f(x)x3，x27，即8x27；当x8时，f(x)2ex83恒成立，故x8.综上，x(，27.(4)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_【答案】(，4【解析】令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减，而y2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4(5)函数yxx1在x3,2上的值域为_【答案】【解析】令tx，则yt2t12，x3,2，t，当t时，ymin.当t8时，ymax57.所以函数的值域为.课堂总结1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0a1两种情况分类讨论.易错防范1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围. 课后作业1.化简(2)6(1)0的结果为()A.9 B.7C.10 D.9【答案】B【解析】原式(26)1817.2.函数yaxa1(a0，且a1)的图象可能是()【答案】D3函数yax2 0122 011(a0且a1)的图象恒过定点_【答案】(2 012,2 012)【解析】yax(a0且a1)恒过定点(0,1)，yax2 0122 011恒过定点(2 012，2 012)4.指数函数y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_.【答案】(1，2)【解析】由题意知02a1，解得1a2.5. (2017北京高考)已知函数f(x)3x，则f(x)()A是偶函数，且在R上是增函数B是奇函数，且在R上是增函数C是偶函数，且在R上是减函数D是奇函数，且在R上是减函数【答案】B【解析】函数f(x)的定义域为R，f(x)3x3xf(x)，函数f(x)是奇函数函数y在R上是减函数，函数y在R上是增函数又y3x在R上是增函数，函数f(x)3x在R上是增函数故选B.6(2016新课标全国卷)已知a2，b4，c25，则()Abac BabcCbca Dcab【答案】A【解析】因为a216，b416，c25，且幂函数yx在R上单调递增，指数函数y16x在R上单调递增，所以ba1时，函数f(x)axb在1,0上为增函数，由题意得无解当0a1时，函数f(x)axb在1,0上为减函数，由题意得解得所以ab.9若f(x)xx，则满足f(x)0的x的取值范围是_【答