2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案新人教A版.docx

2.2.2反证法1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.反证法的定义及证题关键对反证法的三点说明（1）反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.（2）反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨性体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论（假设）”；第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”写成“设”.（3）并非所有问题都可采用反证法证明，只有当问题从正面求解不好处理或较烦琐时，才考虑反证法. 判断正误（正确的打“”，错误的打“”）（1）反证法属于间接证明问题的方法.（）（2）反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理.（）（3）反证法的实质是否定结论导出矛盾.（）答案：（1）（2）（3） 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）结论的否定，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原命题的结论.A.B.C.D.答案：C 命题“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是（）A.ab B.ab C.ab D.ab答案：B 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180相矛盾，AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A、B、C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的排列为.解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的.答案：探究点1用反证法证明否定性命题已知a，b，c，dR，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.【证明】假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即（ab）2（cd）2（ad）2（bc）20.所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾，故假设不成立.所以a2b2c2d2abcd1.（1）用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.（2）用反证法证明数学命题的步骤 已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c不成等差数列.证明：假设a，b，c构成等差数列，则有2bac，即4b2a2c22ac，又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4a2c2且a，b，c互不相等，即b2ac，因此4aca2c22ac，所以（ac）20，从而acb，这与a，b，c互不相等矛盾.故a，b，c不成等差数列.探究点2用反证法证明唯一性命题若函数f（x）在区间a，b上的图象连续不断，且f（a）0，且f（x）在a，b上单调递增，求证：f（x）在（a，b）内有且只有一个零点.【证明】由于f（x）在a，b上的图象连续不断，且f（a）0，即f（a）f（b）m，则f（n）f（m），即00，矛盾；若nm，则f（n）f（m），即00，则方程x2sin x的根的情况是（）A.有实根 B.无实根C.恰有一实根 D.无法确定解析：选B.x0时，x2，而2sin x2，但此二式中“”不可能同时取得，所以x2sin x无实根.4.设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数（）A.至少有一个不大于2 B.都小于2C.至少有一个不小于2 D.都大于2解析：选C.若a，b，c都小于2，则abc6，而abcxyz6，显然，矛盾，所以C正确.5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.6.在ABC中，若ABAC，P是ABC内的一点，APBAPC，求证：BAPCAP，用反证法证明时的假设为.解析：反证法对结论的否定是全面否定，BAPCAP的对立面是BAPCAP或BAPCAP.答案：BAPCAP或BAPCAP7.下列命题适合用反证法证明的是（填序号）.已知函数f（x）ax（a1），证明：方程f（x）0没有负实数根；若x，yR，x0，y0，且xy2，求证：和中至少有一个小于2；关于x的方程axb（a0）的解是唯一的；同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交.解析：是“否定性”命题；是“至少”类命题；是“唯一性”命题，且题中条件较少；不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明.答案：8.设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（填序号）.解析：若a，b，则ab1，但a1，b1，故不能推出.若ab1，则ab2，故不能推出.若a2，b1，则a2b22，故不能推出.对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：9.已知a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a4100矛盾，故假设错误.所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.10.如图所示，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.证明：如图所示，连接AB，假设AC平面SOB.因为直线SO在平面SOB内，所以ACSO.因为SO底面圆O，所以SOAB，所以SO平面SAB，所以平面SAB底面圆O.这显然矛盾，所以假设不成立，故AC与平面SOB不垂直.B能力提升11.若下列关于x的方程x24ax4a30（a为常数），x2（a1）xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是（）A.B.1，）C.（2，0）D.0，）解析：选B.假设三个方程都没有实数根，则解得a1，故三个方程x24ax4a30，x2（a1）xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实根时，实数a的取值范围为a或a1.12.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）A.2人 B.3人C.4人 D.5人解析：选B.假设满足条件的学生有4位及4位以上，则可知4位学生中必有两位语文成绩一样，且这两位同学数学成绩不同，那么两个人中会有一个人的成绩比另一个人好.这与“一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好”相矛盾，故排除C，D.假设满足条件的学生有3位，用a，b，c表示“优秀”“合格”“不合格”，用“（语，数）”来表示某学生的成绩，则满足题意的3位学生的成绩为（a，c），（c，a），（b，b），所以最多有3人.13.已知二次函数f（x）ax2bxc（a0）的图象与x轴有两个不同的交点.若f（c）0，且0xc时f（x）0.（1）证明：是函数f（x）的一个零点；（2）试用反证法证明：c.证明：（1）因为f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，所以f（x）0有两个不等实根x1，x2.因为f（c）0，所以x1c是f（x）0的一个根，又因为x1x2.所以x2，所以是f（x）0的另一个根，即是函数f（x）的一个零点.（2）由第一问知c，故假设c，易知0，由题知当0xc时，f（x）0，所以f0与f0矛盾，所以c.14.（选做题）设an是公比为q的等比数列.（1）推导an的前n项和公式；（2）设q1，证明数列an1不是等比数列.解：（1）设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，由得，（