2018_2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教A版.docx

23.2离散型随机变量的方差1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差1方差、标准差的定义及方差的性质(1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn方差D(X)_(xiE(X)2pi标准差为(2)方差的性质：D(aXb)a2D(X)随机变量与样本方差的关系(1)随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量(2)对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差 2两个常见分布的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，则D(X)np(1p) 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定()(2)若a是常数，则D(a)0.()(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度()答案：(1)(2)(3) 已知X的分布列为X1234P则D(X)的值为()A.B.C.D.答案：C 已知X的分布列为X012P设Y2X3，则D(Y)_答案： 已知随机变量X服从二项分布B(n，p)若E(X)30，D(X)20，则p_解析：由E(X)30，D(X)20，可得解得p.答案：探究点1求离散型随机变量的方差袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1，2，3，4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号求的分布列、均值和方差.【解】由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3，4，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).故的分布列为01234P所以E()012341.5，D()(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75. 变条件在本例条件下，若ab，E()1，D()11，试求a，b的值解：由D(ab)a2D()11，E(ab)aE()b1，及E()1.5，D()2.75，得2.75a211，1.5ab1，解得a2，b2或a2，b4. 求离散型随机变量的方差的步骤(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果(2)求出随机变量取各个值的概率(3)列出分布列(4)利用公式E(X)x1p1x2p2xipixnpn求出随机变量的期望E(X)(5)代入公式D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pn求出方差D(X)(6)代入公式(X)求出随机变量的标准差. 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、期望和方差解：乙投篮的次数的取值为0，1，2.P(0)；P(1).P(2).故的分布列为012PE()012，D()(0)2(1)2(2)2.探究点2两点分布与二项分布的方差一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.(1)求这位司机遇到红灯数的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30 s，求司机总共等待时间的期望与方差【解】(1)易知司机遇上红灯次数服从二项分布，且B(6，)，故E()62，D()6(1).(2)由已知30，故E()30E()60，D()900D()1 200. 正确认识二项分布及在解题中的应用(1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望和方差，以简化问题的解答过程(2)对于二项分布公式E(X)np和D(X)np(1p)要熟练掌握 抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数(1)若抛掷1次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)解：(1)X服从两点分布X01P所以E(X)p，D(X)p(1p).(2)由题意知XB，所以E(X)np105，D(X)np(1p)10.探究点3方差的实际应用甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下：X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况【解】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a0.10.61，得a0.3.同理0.3b0.31，得b0.4.(2)E(X)10.320.130.62.3，E(Y)10.320.430.32，D(X)(12.3)20.3(22.3)20.1(32.3)20.60.81，D(Y)(12)20.3(22)20.4(32)20.30.6.由于E(X)E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定(3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论 最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票据分析预测：投资股市一年后可以获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为；第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，；第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为3%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由解：若按方案一执行，设收益为万元，则其分布列为42P的数学期望E()4(2)1.若按方案二执行，设收益为万元，则其分布列为：201P的数学期望E()20(1)1.若按方案三执行，收益y103%0.3，因此E()E()y.又D()(41)2(21)29，D()(21)2(01)2(11)2.由以上可知D()D()这说明虽然方案一、二收益均相等，但方案二更稳妥所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理1已知某离散型随机变量X服从的分布列如下表所示，则随机变量X的方差D(X)等于()X01Pm2mA.B.C. D.解析：选B.由题意可知：m2m1，所以m，所以E(X)01，所以D(X).2已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则D(X)()A. B.C. D.解析：选A.因为X的取值为0，1，P(X0)，P(X1)，所以E(X)01，D(X).故选A.3有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为，求E()和D()解：的可能取值为6，9，12.6表示取出的3张卡片上都标有2，则P(6).9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(9).12表示取出的3张卡片上两张标有5，一张标有2，则P(12).所以的分布列为6912P所以E()69127.8，D()(67.8)2(97.8)2(127.8)23.36. 知识结构深化拓展对随机变量X的方差、标准差的五点说明(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的(2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X的取值的稳定性和波动、集中与离散程度(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛(4)D(X)越小，随机变量X的取值越稳定，波动越小(5)方差也可以用公式D(X)E(X2)(E(X)2计算(可由D(X) (xiE(X)2pi展开得到)., A基础达标1设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)m，令随机变量则的方差D()等于()AmB2m(1m)Cm(m1) Dm(1m)解析：选D.随机变量的分布列为：01P1mm所以E()0(1m)1mm.所以D()(0m)2(1m)(1m)2mm(1m)2如果X是离散型随机变量，E(X)6，D(X)0.5，X12X5，那么E(X1)和D(X1)分别是()AE(X1)12，D(X1)1BE(X1)7，D(X1)1CE(X1)12，D(X1)2DE(X1)7，D(X1)2解析：选D.E(X1)2E(X)51257，D(X1)4D(X)40.52.3抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得1分，则得分X的均值与方差分别为()AE(X)0，D(X)1BE(X)，D(X)CE(X)0，D(X)DE(X)，D(X)1解析：选A.由题意知，随机变量X的分布列为X11P所以E(X)(1)10，D(X)(10)2(10)21.4已知X的分布列如下表所示：X101P则下列式子：E(X)；D(X)；P(X0).其中正确的有()A0个 B1个C2个 D3个解析：选C.由分布列知P(X0)，E(X)(1)01，D(X)，故只有正确5设随机变量的分布列为P(k)C()k()nk，k0，1，2，n，且E()24，则D()的值为()A8 B12C. D16解析：选A.由题意可知B(n，)，所以nE()24.所以n36.所以D()n(1)368.6牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为，则D()等于_解析：因为B(10，0.02)，所以D()100.02(10.02)0.196.答案：0.1967随机变量的取值为0，1，2.若P(0)，E()1，则D()_解析：设P(1)a，P(2)b，则解得所以D()01.答案：8随机变量的分布列如下，其中a，b，c成等差数列若E()，则D()的值为_123Pabc解析：因为a，b，c成等差数列，所以ac2b.又因为abc1，所以b.又因为E()a2b3c，所以a，b，c，所以的分布列为123P所以D()(1)2(2)2(3)2.答案：9已知的分布列为010205060P(1)求的方差及标准差；(2)设Y2E()，求D(Y)解：(1)E()01020506016，D()(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(6016)2384，8.(2)因为Y2E()，所以D(Y)D(2E()22D()43841 536.10从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量表示所选3人中男生的人数(1)求的分布列；(2)求的均值与方差；解：(1)可能取的值为0，1，2，且P(0)，P(1)，P(2)，所以的分布列为012P(2)E()012，D().B能力提升11甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术解：(1)依题意0.53aa0.11，解得a0.1，因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2.所以，的分布列分别为10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)结合第一问中，的分布列可得E()100.590.380.170.19.2，E()100.390.380.270.28.7，D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96，D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21，由于E()E()，说明甲平均射中的环数比乙高；又D()D()，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以甲的技术比乙好12为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望E()3，标准差.(1)求n，p的值并写出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率解：因为每一株沙柳成活率均为p，种植了n株沙柳，相当于做n次独立重复试验，因此服从二项分布B(n，p)(1)由E()np3，D()np(1p)，得1p，从而n6，p.的分布列为：0123456P(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)P(3)，得P(A).13(选做题)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率解：(1)由已知条件有P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2.P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13，D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X300)1P(X300)0.7，又P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由条件概率，得P(Y6|X300)P(X，解得p.又因为pq1，q0，所以p.所以p的取值范围是.(2)假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X的分布列为X804P则E(X)80(4).假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量Y的分布列为Y402P则E(Y)40(2).因为E(X)E(Y)，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的均值较大6某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：度)