江苏省南通市2019届高三数学第一次模拟考试试题.docx

2019届高三年级第一次模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V柱体Sh，其中S为柱体的底面积，h为高.一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1. 已知集合A1，3，B0，1，则集合AB. 2. 已知复数z3i(i为虚数单位)，则复数z的模为. 3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为. 4. 如图是一个算法流程图，则输出的b的值为. 5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为. 6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积为cm3. 7. 若实数x，y满足xy2x3，则xy的最小值为. 8. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px(p0)的准线为l，直线l与双曲线y21的两条渐近线分别交于A，B两点，AB，则p的值为. 9. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y3xt与曲线yasin xbcos x(a，b，tR)相切于点(0，1)，则(ab)t的值为。10. 已知数列an是等比数列，有下列四个命题： 数列|an|是等比数列； 数列anan1是等比数列； 数列是等比数列； 数列lg a是等比数列.其中正确的命题有个.11. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x).当0x1时，f(x)x3ax1，则实数a的值为.12. 在平面四边形ABCD中，AB1，DADB，3，2，则|2|的最小值为.13. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2y21，圆C：(x4)2y24.若存在过点P(m，0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是.14. 已知函数f(x)(2xa)(|xa|x2a|)(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.(1) 已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；(2) 已知ABF的外接圆的圆心在直线yx上，求椭圆的离心率e的值.18. (本小题满分16分)如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为2 m和4 m，上部是圆心为O的劣弧CD，COD.(1) 求图1中拱门最高点到地面的距离；(2) 现欲以点B为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC与地面水平线l所成的角为.记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用的函数表示h，并求出h的最大值.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)ln x(aR).(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 设函数f(x)的导函数为f(x)，若函数f(x)有两个不相同的零点x1，x2. 求实数a的取值范围； 证明：x1f(x1)x2f(x2)2ln a2.20. (本小题满分16分)已知等差数列an满足a44，前8项和S836.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若数列bn满足(bka2n12k)2an3(2n1)(nN*). 证明：bn为等比数列； 求集合.2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵M，N，且(MN)1，求矩阵M.选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin.求：(1) 直线l的直角坐标方程；(2) 直线l被曲线C截得的线段长.C. 选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)已知实数a，b，c满足a2b2c21，求证：.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 553等.显然2位“回文数”共9个：11，22，33，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.(1) 求X为“回文数”的概率；(2) 设随机变量表示X，Y两数中“回文数”的个数，求的概率分布和数学期望E().23. (本小题满分10分)设集合B是集合An1，2，3，3n2，3n1，3n，nN*的子集.记集合B中所有元素的和为S(规定：集合B为空集时，S0).若S为3的整数倍，则称B为An的“和谐子集”.求：(1) 集合A1的“和谐子集”的个数；(2) 集合An的“和谐子集”的个数.2019届高三年级第一次模拟考试(南通)数学参考答案1.0，1，32.3.34.75.6.547.68.29.410.311.212.213.14.33715. (1) 在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MNAD.(2分)又底面ABCD是矩形，所以BCAD.所以MNBC.(4分)又BC平面PBC，MN平面PBC，所以MN平面PBC.(6分)(2) 因为底面ABCD是矩形，所以ABAD.又侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，AB底面ABCD，所以AB侧面PAD.(8分)又MD侧面PAD，所以ABMD.(10分)因为DADP，又M为AP的中点，从而MDPA.(12分)又PA，AB在平面PAB内，PAABA，所以MD平面PAB.(14分)16. (1) 在ABC中，因为cosA，0A，所以sinA.(2分)因为acosBbcosA，由正弦定理，得sinAcosBsinBcosA.所以cosBsinB.(4分)若cosB0，则sinB0，与sin2Bcos2B1矛盾，故cosB0.于是tanB1.又因为0Bb0)的离心率为，所以，则a2c.因为线段AF中点的横坐标为，所以.所以c，则a28，b2a2c26.所以椭圆的标准方程为1.(4分)(2) 因为点A(a，0)，点F(c，0)，所以线段AF的中垂线方程为x.又因为ABF的外接圆的圆心C在直线yx上，所以点C.(6分)因为点A(a，0)，点B(0，b)，所以线段AB的中垂线方程为：y.由点C在线段AB的中垂线上，得，整理得，b(ac)b2ac，(10分)即(bc)(ab)0.因为ab0，所以bc.(12分)所以椭圆的离心率e.(14分)18. (1) 如图1，过点O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离.在RtO2OC中，O2OC，CO2，所以OO21，圆的半径ROC2.所以O1PROO1RO1O2OO25.故拱门最高点到地面的距离为5m.(4分)(2) 在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离.由(1)知，在RtOO1B中，OB2.以B为坐标原点，地面所在的直线为x轴，建立如图2所示的坐标系.当点P在劣弧CD上时，.由OBx，OB2，由三角函数定义，得点O，则h22sin.(8分)所以当即时，h取得最大值22.(10分)如图3，当点P在线段AD上时，0.设CBD，在RtBCD中，DB2，sin，cos.由DBx，得点D(2cos()，2sin().所以h2sin()4sin2cos.(14分)又当04cos2sin0.所以h4sin2cos在上递增.所以当时，h取得最大值5.因为225，所以h的最大值为22.故h艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(22)m.(16分)19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).当a0时，f(x)0成立，所以函数f(x)在(0，)为增函数；(2分)当a0时，() 当xa时，f(x)0，所以函数f(x)在(a，)上为增函数；() 当0xa时，f(x)0时，f(x)的最小值为f(a)，依题意知f(a)1lna0，解得0aa，f(1)a0，函数f(x)在(a，)为增函数，且函数f(x)的图象在(a，1)上不间断.所以函数f(x)在(a，)上有唯一的一个零点.另一方面，因为0a，所以0a2a.f(a2)lna22lna，令g(a)2lna，当0a时，g(a)ge20.又f(a)a2.不妨设x1x2，由知0x1aa2，即证x1.因为x1，(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数，所以只要证ff(x1).又f(x1)f(x2)0，即证ff(x2).(14分)设函数F(x)ff(x)2lnx2lna(xa).所以F(x)0，所以函数F(x)在(a，)上为增函数.所以F(x2)F(a)0，所以ff(x2)成立.从而x1x2a2成立.所以p2ln(x1x2)2lna2，即x1f(x1)x2f(x2)2lna2成立.(16分)20. (1) 设等差数列an的公差为d.因为等差数列an满足a44，前8项和S836，所以解得所以数列an的通项公式为ann.(3分)(2) 设数列bn的前n项和为Bn.由得3(2n1)3(2n11)(b1a2n1b2a2n3bn1a3bna12n)(b1a2n3b2a2n5bn1a12n2)b1(a2n32)b2(a2n52)bn1(a12)bna12n(b1a2n3b2a2n5bn1a12n2)2(b1b2bn1)bn22(Bnbn)bn2.所以32n12Bnbn2(n2，nN*)，又3(211)b1a12，所以b11，满足上式.所以2Bnbn232n1(nN*)，(6分)当n2时，2Bn1bn1232n2，由得，bnbn132n2.(8分)bn2n1(bn12n2)(1)n1(b120)0，所以bn2n1，2，所以数列bn是首项为1，公比为2的等比数列.(10分)由，得，即2pm.记cn，由得，cn，所以1，所以cncn1(当且仅当n1时等号成立).由，得cm3cpcp，所以mp.(12分)设tpm(m，p，tN*)，由2pm，得m.当t1时，m3，不合题意；当t2时，m6，此时p8符合题意；当t3时，m，不合题意；当t4时，m1，不合题意.下面证明当t4，tN*时，m0，所以函数f(x)在4，)上是单调增函数，所以f(x)f(4)10，所以当t4，tN*时，m1，不合题意.综上，所求集合(m，p)|，m，pN*(6，8).(16分)21.A.由题意知(MN)1，则MN.(4分)因为N，则N1.(6分)所以矩阵M.(10分)B. (1) 直线l的极坐标方程可化为(sincoscossin)，即sincos2.又xcos，ysin，所以直线l的直角坐标方程为xy20.(4分)(2) 曲线C(t为参数)的普通方程为x2y.由得x2x20，所以直线l与曲线C的交点A(1，1)，B(2，4).(8分)所以直线l被曲线C截得的线段长为AB3.(10分)C.由柯西不等式，得(a21)(b21)(c21)()()29，(5分)所以.(10分)22. (1) 记“X是回文数”为事件A.9个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.所以事件A的概率P(A).(3分)(2) 根据条件知，随机变量的所有可能取值为0，1，2.由(1)得P(A).(5分)设“Y是回文数”为事件B，则事件A，B相互独立.根据已知条件得，P(B).P(0)P(A)P(B)(1)(1)；P(1)P(A)P(B)P(A)P(B)(1)；P(2)P(A)P(B)(8分)所以，随机变量的概率分布为012P所以随机变量的数学期望为E()012.(10分)23. (1) 集合A11，2，3的子集有，1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3，其中所有元素和为3的整数倍的集合有，3，1，2，1，2，3，所以A1的“和谐子集”的个数等于4.(3分)(2) 记An的“和谐子集”的个数等于an，即An有an个所有元素和为3的整数倍的子集；另记An有bn个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有cn个所有元素和为3的整数倍余2的子集.由(1)知，a14，b12，c12.集合An11，2，3，3n2，3n1，3n，3n1，3n2，3(n1)的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素3n1，3n2，3(n1)：第一类：集合An1，2，3，3n2，3n1，3n的“和谐子集”，共an个；第二类：仅含一个元素3(n1)的“和谐子集”，共an个；同时含两个元素3n1，3n2的“和谐子集”，共an个；同时含三个元素3n1，3n2，3(n1)的