江苏省常州市2019届高三数学上学期期末考试试题（附加题）.docx

江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学附加题21. 【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修42：矩阵与变换已知点(1，2)在矩阵A对应的变换作用下得到点(7，6)(1) 求矩阵A；(2) 求矩阵A的特征值及对应的特征向量B. 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为2sin，求直线l被曲线C所截的弦长C. 选修45：不等式选讲已知a0，b0，求证：ab1.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)如图，在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四棱锥PABCD的高OP2，点B，D和C，A分别在x轴和y轴上，且AB，点M是棱PC的中点(1) 求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；(2) 求二面角APBC的余弦值(第22题)23. (本小题满分10分)是否存在实数a，b，c使得等式135246n(n2)(n4)(an2bnc)对于一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由.江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. (1) 由题意知，即解得所以A.(3分)(2) f()(1)(2)6234，令f()0，得2340，解得11，24.(5分)当11时，取所以属于11的一个特征向量为，当24时，取所以属于24的一个特征向量为.(9分)所以矩阵A的特征值为11，24，对应的一个特征向量分别为，.(10分)B. 直线l的普通方程为xy10，曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y1)22，(4分)所以曲线C是圆心为C(1，1)，半径为r的圆，(6分)所以圆心C(1，1)到直线l的距离为d，(8分)所以直线l被曲线C所截的弦长为22.(10分)C. 因为a0，b0，由柯西不等式可得(ab1)(b1a)()2，当且仅当时取等号，所以(ab1)2()2.又因为ab10，0，所以ab1.(10分)22. (1) 记直线AM与平面PAB所成的角为，A(0，1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，M，则(1，1，0)，(0，1，2)，设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，所以即取n(2，2，1)，所以sin，(5分)即直线AM与平面PAB所成角的正弦值为.(6分)(2) 设平面PBC的法向量为n1(x，y，z)，(1，1，0)，(1，0，2)，由即取n1(2，2，1)，所以cosn，n1，(9分)由图可知二面角APBC的余弦值为.(10分)23. 在135246n(n2)(n4)(an2bnc)中，令n1，得15(abc)；令n2，得63(4a2bc)；令n3，得168(9a3bc)，即解得(3分)下面用数学归纳法证明：等式135246n(n2)(n4)(n29n20)对于一切正整数n都成立当n1时，等式成立；假设当nk时，等式成立，即135246k(k2)(k4)(k29k20)(4分)当nk1时，135246k(k2)(k4)(k1)(k3)(k5)(k29k20)(k1)(k3)(k5)k(k1)(k4)(k5)(k1)(k3)(k5)(k1)(k5)(k28k12)(k11)(k15)(k1)29(k1)20，即