2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第10讲导数的概念及运算讲义理（含解析）.docx

第10讲导数的概念及运算考纲解读1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义2能根据导数的定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数，并对导数的几何意义和物理意义做充分理解考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容预测2020年高考将会涉及导数的运算及几何意义以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.1变化率与导数(1)平均变化率概念对于函数yf(x)，叫做函数yf(x)从x1到x2的平均变化率几何意义函数yf(x)图象上两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率物理意义若函数yf(x)表示变速运动的质点的运动方程，则就是该质点在x1，x2上的平均速度(2)导数2导数的运算1概念辨析(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(3)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同()(4)函数f(x)ex的导数是f(x)ex.()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)下列函数求导运算正确的个数为()(3x)3xlog3e；(log2x)；(e1x)e1x；x.A1 B2 C3 D4答案A解析中，(3x)3xln 3，错误；中，(log2x)，正确；中，(e1x)e1x，错误；中，错误，因此求导运算正确的个数为1.(2)有一机器人的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为()A. B. C. D.答案D解析s2t，当t2时，s22，所以该机器人在t2时的瞬时速度为.(3)函数f(x)x34x5的图象在x1处的切线在x轴上的截距为()A10 B5 C1 D答案D解析f(x)x34x5，f(x)3x24，f(1)7，即切线的斜率为7，又f(1)10，故切点坐标为(1,10)，切线的方程为y107(x1)，当y0时，x，切线在x轴上的截距为.(4)曲线y在x处的切线方程为_答案yx解析因为y，当x时，y，所以曲线y在x处的切线方程为y，整理得yx.题型 导数的运算1(2019湖南十二校联考)若函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(1)_.答案8解析因为f(x)2f(1)x3，所以f(1)12f(1)3，解得f(1)2，所以f(1)1438.2求下列函数的导数：(1)y(2x21)(3x1)；(2)yxsin2xcos2x；(3)yexcosx；(4)y.解(1)因为y(2x21)(3x1)6x32x23x1，所以y18x24x3.(2)因为yxsin2xcos2x，所以yxsin4x，所以y1cos4x412cos4x.(3)y(excosx)(ex)cosxex(cosx)excosxexsinxex(cosxsinx)(4)y.1谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导2熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导3求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系注意内层函数通常为一次函数(2)由外向内逐层求导如举例说明2(4)中对ln (2x1)的求导 求下列函数的导数：(1)yln x；(2)y；(3)y(x22x1)e2x.解(1)y(ln x).(2)y.(3)y(x22x1)e2x(x22x1)(e2x)(2x2)e2x(x22x1)(e2x)(3x2)e2x.题型 导数的几何意义角度1求切线方程1过点(1，2)且与yx33x相切的直线方程为()Ay2或9x4y10By2C9x4y10Dy0或9x4y10答案A解析y3x23，设切点坐标为(x0，x3x0)，此时在切点处的斜率为y|xx3x3，所以切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，将点(1，2)代入切线方程，整理得2x3x10，即(x01)2(2x01)0，解得x01或x0，分别代入切线方程可得y2或9x4y10.2(2018全国卷)曲线y2ln (x1)在点(0,0)处的切线方程为_答案y2x解析y，k2，所以切线方程为y02(x0)，即y2x.角度2求切点坐标(多维探究)3(2019广州模拟)设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为()A(0,0) B(1，1)C(1,1) D(1，1)或(1,1)答案D解析f(x)(x3ax2)3x22ax，由题意得f(x0)1，x0f(x0)0，所以由知x00，故可化为1xax00，所以ax01x代入得3x2(1x)1，即x1，解得x01.当x01时，a2，f(x0)xax1；当x01时，a2，f(x0)xax1，所以点P的坐标为(1，1)或(1,1)条件探究在举例说明3中增加条件“a0”，若曲线yf(x)在点Q(x1，f(x1)处的切线与直线x4y0垂直，求点Q的坐标解由举例说明3知f(x)x32x2，f(x)3x24x.由题意得f(x1)4，所以3x4x14，解得x12或x1，f(2)(2)32(2)20，f322，所以点Q的坐标为(2,0)或.角度3求参数的值(范围)4(2018成都诊断)若曲线yf(x)ln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A. B.C(0，) D0，)答案D解析f(x)2ax(x0)，根据题意有f(x)0(x0)恒成立，所以2ax210(x0)恒成立，即2a(x0)恒成立，所以a0，故实数a的取值范围为0，)5直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab_.答案1解析由题意知，yx3axb的导数y3x2a，则由此解得k2，a1，b3，2ab1.求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为kf(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为yy0f(x0)(xx0)如举例说明2.(2)求“过”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条如举例说明1，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为yy1f(x1)(xx1)；根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线yf(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程yy1f(x1)(xx1)，化简即得所求的切线方程 1曲线f(x)2xex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案C解析因为f(0)20e01，所以点P的坐标为(0，1)因为f(x)(2xex)2ex，所以f(0)2e01，所以曲线yf(x)在点P处的切线方程为y(1)1(x0)，整理得xy10.故选C.2若曲线yx2与曲线yaln x在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则实数a()A1 B. C1 D2答案A解析y，y(aln x)，由题意得由得s2ae代入得t.代入得aln s，s，所以()2ae，a1.3已知函数f(x)e2x2exax1，曲线yf(x)上存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为()A(3，) B.C. D(0,3)答案B解析f(x)e2x2exax1的导函数为f(x)2e2x2exa，由题意可得2e2x2exa3的解有两个，即有2，即为ex或ex，即有72a0且72a1，解得3a.高频考点导数的几何意义及其应用考点分析导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也可能出现在解答题中常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)确定切点坐标；(3)已知切线问题求参数；(4)切线的综合应用典例1(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2x Byx Cy2x Dyx答案D解析因为函数f(x)是奇函数，所以a10，解得a1，所以f(x)x3x，f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx，故选D.典例2设函数g(x)x3x23ln xb(bR)，若曲线yg(x)在x1处的切线过点(0，5)，则b()A. B. C. D.答案B解析g(x)3x25x，则g(1)11，又g(1)b，故曲线yg(x)在x1处的切线方程为y11(x1)，由该切线过点(0，5)，得b.典例3如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x2x Byx3x23xCyx3x Dyx3x22x答案A解析设所求函数解析式为f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc(a0)，由题意知解得f(x)x3x2x.方法指