2019版高考数学复习专题四数列专题对点练14数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题文.docx

专题对点练14数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题1.已知等比数列an,a1=,公比q=.(1)Sn为an的前n项和,证明:Sn=;(2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列bn的通项公式.2.已知数列an满足a1=3,an+1=.(1)证明:数列是等差数列,并求an的通项公式;(2)令bn=a1a2an,求数列的前n项和Sn.3.已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求的值.4.在数列an中,设f(n)=an,且f(n)满足f(n+1)-2f(n)=2n(nN*),且a1=1.(1)设bn=,证明数列bn为等差数列;(2)求数列an的前n项和Sn.5.设数列an的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(nN*),其中m为常数,且m-3.(1)求证:an是等比数列;(2)若数列an的公比q=f(m),数列bn满足b1=a1,bn=f(bn-1)(nN*,n2),求证:为等差数列,并求bn.6.已知数列an的前n项和为Sn,a1=-2,且满足Sn=an+1+n+1(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=log3(-an+1),求数列的前n项和Tn,并求证Tn.7.(2018天津模拟)已知正项数列an,a1=1,a2=2,前n项和为Sn,且满足-2(n2,nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)记cn=,数列cn的前n项和为Tn,求证:Tn.8.已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,2Sn=(n+1)2an-n2an+1,数列bn满足b1=1,bnbn+1=.(1)求数列an的通项公式;(2)是否存在正实数,使得bn为等比数列?并说明理由.专题对点练14答案1.(1)证明 因为an=,Sn=,所以Sn=.(2)解 bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-.所以bn的通项公式为bn=-.2.解 (1)an+1=,an+1-1=-1=,.a1=3,数列是以为首项,为公差的等差数列,(n-1)= n,an=.(2)bn=a1a2an,bn=,=2,Sn=2+=2.3.解 (1)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=,a10.由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以.因此an是首项为,公比为的等比数列,于是an=.(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-,即.解得=-1.4.(1)证明 由已知得an+1=2an+2n,bn+1=+1=bn+1,bn+1-bn=1.又a1=1,b1=1,bn是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知,bn=n,an=n2n-1.Sn=1+221+322+n2n-1,2Sn=121+222+(n-1)2n-1+n2n,两式相减得-Sn=1+21+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n=(1-n)2n-1,Sn=(n-1)2n+1.5.证明 (1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减,得(3+m)an+1=2man.m-3,an是等比数列.(2)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)S1+2ma1=m+3,即a1=1,b1=1.数列an的公比q=f(m)=,当n2时,bn=f(bn-1)=,bnbn-1+3bn=3bn-1,.是以1为首项,为公差的等差数列,=1+.又=1也符合,bn=.6.(1)解 Sn=an+1+n+1(nN*),当n=1时,-2=a2+2,解得a2=-8.当n2时,an=Sn-Sn-1=an+1+n+1-,即an+1=3an-2,可得an+1-1=3(an-1).当n=1时,a2-1=3(a1-1)=-9,数列an-1是等比数列,首项为-3,公比为3.an-1=-3n,即an=1-3n.(2)证明 bn=log3(-an+1)=n,.Tn=+.Tn.7.(1)解 由-2(n2,nN*),得+2Sn+1Sn-1+=4,即(Sn+1+Sn-1)2=(2Sn)2.由数列an的各项均为正数,得Sn+1+Sn-1=2Sn,所以数列Sn为等差数列.由a1=1,a2=2,得S1=a1=1,S2=a1+a2=3,则数列Sn的公差为d=S2-S1=2,所以Sn=1+(n-1)2=2n-1.当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-3)=2,而a1=1不适合上式,所以数列an的通项公式为an=(2)证明 由(1)得cn=,则Tn=c1+c2+c3+cn=+1-.又Tn=是关于n的增函数,则TnT1=,因此,Tn.8.解 (1)由2Sn=(n+1)2an-n2an+1,得2Sn-1=n2an-1-(n-1)2an,2an=(n+1)2an-n2an+1-n2an-1+(n-1)2an,2an=an+1+an-1,数列an为等差数列.2S1=(1+1)2a1-a2,4=8-a2.a2=4.d=a2-a1=4-2=2.an=2+2(n-1)=