信号分析与处理杨西侠版第3章习题答案.doc

3-1 求以下序列的频谱(1)(n) (2)(n-3)(3) 0.5(n+1)+(n)+ 0.5(n-1)(4) anu(n), 0a1(5) 矩形序列RN(n)解：序列频谱的定义为 = (1) = = 1(2) = = (3) = = + 1 + = 1 + = 1 +(4) = = = (0 a 1, 收敛) = (5) = = = = = 3-2 设和分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换(1) x(n-n0)(2) x*(n)(3) x(-n)(4) x(n)* y(n)(5) x(n) y(n) (6) nx(n)(7) x(2n) (8) x2(n) x(), n为偶数(9) xa(n) = 0，n 为奇数(1) DTFTx(n-n0) = = (2) DTFTx*(n) = = = = (3) DTFTx(-n) = = (4) DTFTx(n)* y(n) = = = = = = (5) DTFTx(n) y(n) = = = = = (6) DTFTnx(n) = = (7) DTFTx(2n) = = += +(8) DTFTx2(n) = (9) DTFTxa(n) = = = = 1 | | 03-3 已知= 00 | | 求的傅里叶反变换解：x(n) = = = = = = = n-141图3-4402-235123-4 周期序列xp(n), 如图3-44所示，周期N=4,求DFSxp(n) = Xp (k)解： 由DFS的定义Xp (k) = Xp (0) = = = 4Xp (1) = = 2 + (j ) + 0 + j = 2Xp (2) = = 2 + (1 ) + 0 + (1 ) = 0Xp (3) = = 2 + j + 0 + (j ) = 2 Xp (k)是周期函数，其周期长度N=4 Xp (k) = Z1+cos(k)或 Xp (0) = 4, Xp (1) = 2, Xp (2) = 0, Xp (3) = 23-5 如果xp(n)是一个周期为N的序列，也是周期为2N的序列，令Xp1(k)表示当周期为N时的DFS系数，Xp2(k)是当周期为2N时的DFS系数。试以Xp1(k)表示Xp2(k)。解： 由DFS的定义Xp1 (k) = Xp2 (k) = =+ + = Xp1 () + = = =3-6 已知周期序列xp(n)如图3-45所示。取其主值序列构成一个有限长序列 x(n) = xp(n)RN(n)，求x(n)的离散傅里叶变换Xp1 (k) = DFTx(n)。n图3-45 离散时间信号-2-141023512x(n)解：与3-4答案相同，可由定义求出。只不过此时的x(k)非周期的。Xp (k) = Z1+cos(k)R4(k)或 Xp1 (0) = 4, Xp1 (1) = 2, Xp1 (2) = 0, Xp1 (3) = 23-7 一有限长序列如图3-46示，绘出x1(n) = xp(n-2) R4(n)，x2(n) = xp(-n) R4(n)。n图3-46 离散时间信号x(n)1230解：先将有限长序列进行周期延拓，然后右移2位。再截取03点即得x1(n)，如下左图所示。先将有限长序列后褶，然后再进行周期延拓。再截取03点即得x2(n)，如下右图所示。nx2(n)1230nx1(n)12303-8 计算下列序列的DFT。 （1） R3(n) （2） （3）x(n) = 1 2 -1 3 解：（1）由定义得， （2） 只要，N就取整数 （3） 3-9 以下序列长度均为N，试计算其DFT。（1）d(n) （2）d(n -3) （3） 0 a 1 （4） （5） 解：（1） . . . . . . （2）（3）（4） （5） 3-10 若x(n)为矩形序列，试求（1）Zx(n)；（2）DFTx(n)；（3）。解：（1） （2） （3） 当时， 当时，3-11 设一N = 4的有限长序列，序列值分别为x(0) = 0.5，x(1)=1，x(2) = 1，x(3) = 0.5试用图解法求出：（1）x(n)与x(n)的线卷积；（2）x(n)与x(n)的4点圆卷积；（3）x(n)与x(n)的10点圆卷积；（4）若要使x(n)与x(n) 的线卷积等于圆卷积的结果，求序列长度的最小值。解：图解法求卷积的步骤为：1) 反褶2) 移位（线移或圆移）3) 相乘4) 求和 （1）1) 反褶m4 10230.51x(m) m-30-2-10.51x(-m)2) 移位、相乘、求和m-30-2-10.51x(0-m)123x(m)0.5110.5x(0-m)0.5000相乘0.25000取和0.25x(1-m)m-30-2-10.51123x(m)0.5110.5x(1-m)10.500相乘0.50.500取和1m-30-2-1123x(2-m)0.51x(m)0.5110.5x(2-m)110.50相乘0.510.50取和2m0123x(3-m)-3-2-10.51x(m)0.5110.5x(3-m)0.5110.5相乘0.25110.25取和2.5m0123x(4-m)-3-2-10.514x(m)0.5110.5x(4-m)00.511相乘00.510.5取和2 mx(5-m)-30123-2-10.514x(m)0.5110.5x(5-m)000.51相乘000.50.5取和1 mx(6-m)-20123-10.514x(m)0.5110.5x(6-m)0000.5相乘0000.25 取和0.25 （2）xp (-m)1) 反褶m-20123-10.5142) 移位、相乘、求和xp (-m)m-20123-10.514x(m)0.5110.5xp(0-m)0.50.511相乘0.250.510.5取和2.25 m-20123-10.514xp (1-m)x(m)0.5110.5xp(1-m)10.50.51相乘0.50.50.50.5 取和2 m-20123-10.514xp (2-m)x(m)0.5110.5xp(2-m)110.50.5相乘0.510.50.25 取和2.25m-20123-140.51xp (3-m)x(m)0.5110.5xp(3-m)0.5110.5相乘0.25110.25取和2.5（3） 反褶：m-2-1xp (-m)567834210910-3-5-6-40.51移位、相乘、求和：（4）由（3）可得，当x(n)由4点通过补零扩为10点时，此时的圆卷积和线卷积的结果相同。由于线卷积的长度为4+4-1=7可知x(n)由4点通过补零扩为最少7点时，圆卷积和线卷积相等。3-12 证明DFT的频移定理。证明：频移定理为 由IDFT的定义可知， 3-13 已知有限长序列x(n)，DFTx(n) = X (k)，试利用频移定理求（1）；（2）。解：频移定理 （1） 由频移特性： （2） 由频移特性： 3-14 已知x(n)是N点有限长序列X (k) = DFTx(n)。现将长度扩大r倍（在x(n)后补零实现），得长度为rN的有限长序列y(n)，即求DFT y(n)与X (k)的关系。解：由DFT的定义可知， 3-15 证明傅里叶变换的频域圆卷积定理。证明：频域圆卷积定理， 若 则 同理可证3-16 证明（1）x(n) *d(n) = x(n)；（2）x(n) *d(n - n0) = x(n - n0)；证明：由卷积的定义可知（1）（2）3-17 画出序列x(n)的长度N = 16时的FFT蝶形运算图。解：x(8)x(4)x(2)x(10)x(6)x(14)x(1)x(9)x(5)x(3)x(11)x(7)x(15)x1(0)x1(1)x1(2)x1(3)x1(4)x1(5)x1(6)x1(7)x1(8)x1(10)x1(11)x1(14)x1(15)x2(0)x2(1)x2(2)x2(3)x2(4)x2(5)x2(14)x2(15)x2(12)x2(13)x2(6)x2(7)x2(8)x2(9)x2(10)x2(11)x3 (6)x3 (8)x3 (14)x3 (15)x3 (12)x3 (13)x3 (7)x3 (9)x3(0)x3(1)x3(2)x3 (4)x3 (5)x3 (11)x(0)x(12)x(13)x1(9)x1(12)x1(13)x3 (10)x3 (3)X (14)X(15)X (12)X (13)X (7)X (9)X(0)X(1)X(2)X (3)X (4)X (5)X(6)X(8)X (10)X (11)3-18 求序列x(n) = (-1)n的N点（N为偶数