四川省宜宾市一中高三数学第一周二次函数与幂函数考点梳理.docx

二次函数与幂函数考点梳理：1二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x) (a0)；(2)顶点式：f(x) (a0)；(3)零点式：f(x) (a0)2二次函数的图象与性质二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x ；(2)顶点坐标： ；(3)开口方向：a0时，开口 ，a0时，开口 ；(4)值域：a0时，y ，a0时，y ；(5)单调性：a0时，f(x)在 上是减函数，在 上是增函数；a0时，f(x)在上是 ，在上是_3二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2bxc0的 ，也是一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)解集的 4二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值它只能在区间的 或二次函数的 处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值5一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x1，x2是实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示根的分布(mnp且m，n，p均为常数)图象满足的条件x1x2m mx1x2 x1mx2f(m)0.mx1x2n mx1nx2p mx1x2n 只有一根在区间(m，n)内 f(m)f(n)0.6.幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数图象性质定义域值域奇偶性单调性公共点yxRR_函数在R上单调递增_yx2R_函数在_上单调递减；在_上单调递增yx3RR_函数在R上单调递增yx_函数在_上单调递增yx1_函数在_和_上单调递减自查自纠1(1)ax2bxc(2)a(xh)2k(3)a(xx1)(xx2)2(1)(2)(3)向上向下(4)(5)增函数减函数3根端点值4端点顶点6x|x0x|x0y|y0y|y0y|y0奇偶奇非奇非偶奇(，0 0，)0，)(，0)(0，)(1，1)练习题： 1 幂函数的图象过点(2，4)，则它的单调递增区间为()A(，0 B0，)C(，0)(0，) DR解：令242yx2.单调递增区间为0，)故选B.2 (2015山东)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca解：由指数函数y0.6x在(0，)上单调递减，可知0.61.50.60.6，由幂函数yx0.6在(0，)上单调递增，可知0.60.61.50.6，所以bac.故选C.3 设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()解：由A，C，D知，f(0)c0.因为abc0，所以ab0，所以对称轴x0，知A，C错误，D符合要求由B知f(0)c0，所以ab0，所以x0，B错误故选D.4 f(x)是二次函数，且f(x)2x2，若方程f(x)0有两个相等实根，则f(x)的解析式为f(x)_.解：设f(x)ax2bxc(a0)f(x)2axb，所以a1，b2，f(x)x22xc.44c0，所以c1，故f(x)x22x1.故填x22x1.5 若方程x211x30a0的两个不等实根均大于5，则实数a的取值范围是_解：令f(x)x211x30a.对称轴x，故只要 即可，解得00，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的开口向上，故可排除A；若a0，同理可排除D.对于选项B，由直线可知a0，b0，从而0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.故选C.【点拨】本题巧妙地利用二次函数与一次函数图象经过特殊点，结合排除法解答在遇到此类问题时，要牢记在二次函数yax2bxc(a0)中，a的正负决定抛物线开口的方向，c确定抛物线在y轴上的截距，b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)(2)已知函数f(x)在R上单调递减，则实数a的取值范围是()A(2，) B(2，1)C(，2 D.解：由函数f(x)x2ax在(，1上单调递减，得1，即a2；由函数f(x)ax2x在(1，)上单调递减，得a0且1，即a.而12a1a121，综上可知，a2.故选C.【点拨】对于分段二次函数的单调性，先确定各段的单调性，再确定分界点的函数值，从而确定函数在整个定义域上的单调性(3)若函数f(x)x22x1在区间a，a2上的最小值为4，则a的取值集合为()A3，3 B1，3C3，3 D1，3，3解：函数f(x)x22x1(x1)2，其图象的对称轴方程为x1.因为f(x)在区间a，a2上的最小值为4，令x22x14x1或3.令a21或a3，得a3或3，故a的取值集合为3，3故选C.【点拨】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论(1)(2016杭州模拟)如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3，0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac； 2ab1；abc0； 5ab.其中正确的是()A B C D解：因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1，2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a，又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确故选B.(2)函数f(x)x22ax在1，)上单调递增，则a的取值范围是()A(，1 B1，)C(，1 D1，)解：a1a1.故选D.(3)已知函数f(x)x22ax1a(x0，1)有最大值2，则a_.解：函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，其图象的对称轴方程为xa.当a1时，f(x)maxf(1)a，所以a2.综上可知，a1或a2.故填1或2.类型三二次方程根的分布已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围解：(1)条件说明抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，作出函数f(x)的大致图象，得 所以m.故m的取值范围为.(2)由抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，作出函数f(x)的大致图象，得所以m1.故m的取值范围为.【点拨】对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：(1)根的个数问题，由判别式判断；(2)正负根问题，由判别式及韦达定理判断；(3)根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解(详见“考点梳理”)(1)如果方程(1m2)x22mx10的两个根一个小于零，另一个大于1，则m的取值范围为_解：令f(x)(1m2)x22mx1，因为f(0)1，所以f(x)图象过定点(0，1)，所以 解得1m0.故填(1，0)(2)若抛物线yx2ax2与连接两点M(0，1)，N(2，3)的线段(包括M、N两点)有两个相异的交点，则实数a的取值范围为_解：过两点(0，1)、(2，3)的直线方程为yx1，而抛物线yx2ax2与线段MN有两个交点就是方程x2ax2x1在区间0，2上有两个不等的实根令f(x)x2(a1)x1.则解得a1，所以a的取值范围为.故填.类型四二次函数的综合应用(1)(2016全国卷)已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数y|x22x3|与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则()A0 Bm C2m D4m解：由f(x)f(2x)知函数f(x)的图象关于直线x1对称又y|x22x3|(x1)24|的图象也关于直线x1对称，所以这两函数的交点也关于直线x1对称不妨设x1x2(m2m1)，则实数m的取值范围是()A. B.C(1，2) D.解：因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于 解得 即m2.故选D.【点拨】(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)的正负：当0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当0，即m22m30，解得3m1.又mZ，所以m2，1，0.当m2时，m22m33，不合题意；当m1时，m22m34，符合题意；当m0时，m22m33，不合题意所以f(x)x4，所以f(2)2416.故填16.点睛：1求二次函数的解析式利用已知条件求二次函数的解析式常用的方法是待定系数法，但须根据不同条件选取适当形式的f(x)，一般规律是：已知三个点的坐标时，常用一般式；已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最大(小)值时，常用顶点式；若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，常选用零点式2含有参数的二次函数在闭区间上的最值或值域二次函数在区间m，n上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已3二次函数的综合应用解二次函数的综合应用问题，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意f(x)ax2bxc(a0)的结构特点和a，b，c的几何意义(可结合解析几何中的抛物线方程x22py理解a的几何意义)，注意一些特殊点的函数值，如f(0)c，f(1)abc，f(1)abc等4幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x2或x的交点纵坐标的大小反映一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，图象越远离x轴(不包括幂函数yx0)5幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点6判断一个函数是否为幂函数，一定要根据幂函数定义给出的“标准”形式yx(R)课时作业：1已知幂函数f(x)的图象过点，则log2f(2)()A. B C2 D2解：设幂函数为f(x)x，则f，解得，所以f(x)，所以f(2)，所以log2f(2)log2.故选A.2(2016湖北孝感调研)函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在(0，)上为增函数，则实数m的值是()A1 B2 C3 D1或2解：f(x)(m2m1)xm是幂函数m2m11m1或m2.又f(x)在(0，)上是增函数，所以m2.故选B.3函数f(x)2x2mx3，当x2，)时是增函数，当x(，2时是减函数，则f(1)等于()A3 B13 C7 D5解：由题意知f(x)的对称轴x，要使f(x)在2，)上是增函数，在(，2上是减函数，则2，所以m8，所以f(1)28313.故选B.4已知函数f(x)x22x3在区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A1，) B0，2C(，2 D1，2解：由题可知f(0)3，f(1)2，f(2)3，结合图象可知1m2.故选D.5生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月内生产某种商品x万件的生产成本为C(x)x22x20(单位：万元)，1万件商品售价是20万元，为获得最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为()A36万件 B18万件 C22万件 D9万件解：利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)取得最大值故选B.6(2017焦作模拟)函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函数解：因为f(x)x22axa在(，1)上有最小值，且f(x)关于xa对称，所以a1)若a0，则g(x)在(1，)上是增函数，若0aa在区间1，3上满足：恒有解，则实数a的取值范围为_；恒成立，则实数a的取值范围为_解：f(x)a在区间1，3上恒有解，则af(x)max，又f(x)x22x且x1，3，当x3时，f(x)max15，故a的取值范围为aa在区间1，3上恒成立，则af(x)min，又因f(x)x22x且x1，3，当x1时，f(x)min3，故a的取值范围为axk在区间3，1上恒成立，试求k的取值范围解：(1)由题意知： 解得 所以f(x)x22x1.由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1(2)由题知，x22x1xk在区间3，1上恒成立，即kx2x1在区间3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)知g(x)在区间3，1上是减函数，则g(x)ming(1)1，所以k0)有两个零点，其中一个零点在区间(1，2)内，求ab的取值范围解：易知x1x21，即ab的取值范围为(1，) (2017长沙一中期中测试)函数f(x)(m2m1)x4m9 - m5+3是幂函数，对任意的x1，x2(0，+)，且x1x2，满足0，若a，bR，且ab0，则f(a)f(b)的值()A恒大于0 B恒小于0C等于0 D无法判断解：依题意，幂函数f(x)在(0，)上是增函数，所以 解得m2，则f(x)x2 019.所以函数f(x)x2 019在R上是奇函数，且为增函数由ab0，得ab，所以f(a)f(b)，则f(a)f(b)0.故选A.课时作业二：1函数f(x)x22(a1)x2在(，4上是减函数，则实数a的取值范围是()A(，3 B3，)C(，5 D5，)解：函数f(x)图象的对称轴方程是x1a，要使函数f(x)在(，4上是减函数，则1a4，即a3.故选A.2已知幂函数f(x)(n22n2)xn2 - 3n(nZ)在(0，)上是减函数，则n的值为()A3 B1 C2 D1或2解：因为幂函数f(x)(n22n2)xn2 - 3n在(0，)上是减函数，所以 所以n1.故选B.3(2016成都模拟)若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是()A(0，4 B.C. D.解：二次函数yx23x4图象的对称轴是x，开口向上，最小值是ymin，在x处取得，所以由函数的值域是，可知m应该在对称轴的右边，当函数值是4时，对应的自变量的值是x0或x3，如果m比3大，那么函数值就超出这个范围，所以m的取值范围是.故选B.4(2016温州模拟)方程x2ax20在区间1，5上有解，则实数a的取值范围为()A. B(1，)C. D解法一：令f(x)x2ax2，而f(0)2，故只要 解得a1.解法二：由ax在区间1，5上单调递减知a.故选C.5函数f(x)ax2bxc与其导函数f (x)在同一坐标系内的图象可能是() A B C D解：若二次函数f(x)的图象开口向上，则导函数f(x)为增函数，排除A；同理排除D；若f(x)2axb过原点，则b0，则yf(x)的对称轴为y轴，排除B.故选C.6(2016揭阳测试)已知f(x)2x2pxq，g(x)x是定义在集合M上的两个函数对任意的xM，存在常数x0M，使得f(x)f(x0)，g(x)g(x0)，且f(x0)g(x0)则函数f(x)在集合M上的最大值为()A4 B. C6 D.解：利用导数可知函数g(x)x在区间上的最小值为4，最大值为5，对任意的xM，存在常数x0M，使得g(x)g(x0)，则g(x0)g(x)min4，此时x02.根据题意知，f(x)minf(x0)4，即二次函数f(x)2x2pxq的顶点坐标为(2，4)，因此f(x)2(x2)24，在集合M上的最大值为f(1)6.故选C.7已知幂函数f(x)x，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围是_解：因为f(x)x(x0)，易知x(0，)时为减函数，又f(a1)f(102a)，所以 所以3a5.故填(3，5)8已知函数f(x)x2(a1)xb，满足f(3)3，且f(x)x恒成立，则ab_.解：f(3)3，则93(a1)b3，即b3a9.f(x)x恒成立，即x2(a1)xbx0恒成立所以x2axb0恒成立，所以a24b0，将b3a9代入得(a6)20，a6.所以b9，ab3.故填3.9(2016汕头一中月考)已知函数f(x)是二次函数，不等式f(x)0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向上，且对称轴为x.当01，即0a1时，f(x)ax22x的图象的对称轴在0，1的右侧，所以f(x)在0，1上递减所以f(x)minf(1)a2.当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x0，在y轴的左侧，所以f(x)ax22x在0，1上递减所以f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)min(2)只需f(x)min1，即可由(1)知，当a1时，a21，所以a1(舍去)；当a1时，1恒成立，所以a1.故a的取值范围为1，)(3)由题意知f(x)0时，x0，x(a0)，00，1，所以0y0，则()A.0 Bsinxsiny0C.0解：y单调递减，所以y.故选C. 设函数f(x) 则使得f(x)2成立的x的取值范围是_解：当x1时，ex12，即ex1eln2，得x1ln2，所以x0，a1)的定义域和值域都是1，0，则ab_.解：若0a1，则f(x)在区间1，0上为增函数，即无解所以ab2.故填.类型一指数幂的运算(1)化简求值：(0.002) 10(2)1()0；(2)化简：；(3)已知aa3，则_.解：(1)原式150010(2)11010201.(2)原式.(3)将aa3两边平方，得aa129，所以aa17.将aa17两边平方，得a2a2249，所以a2a247，所以6.故填6.【点拨】指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数(1)化简求值：22(0.01)0.5；(2)化简：4ab；(3)已知a，b是方程x26x40的两根，且ab0，则_.解：(1)原式111.(2)原式6a.(3)由已知得，ab6，ab4，所以.因为ab0，所以，所以.故填.类型二指数函数的图象及应用(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0 Ba1，b0C0a1，b0 D0a1，b0解：由图象知f(x)是减函数，所以0a1，又由图象在y轴的截距小于1可知ab1，即b0，所以b0.故选D.(2)(2015湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_解：令|2x2|b0，得|2x2|b，令y|2x2|，yb，其函数图象有两个交点，结合函数图象可知，0b0时，2x1.则f(x)12x 图象A满足故选A.类型三指数函数的综合问题已知函数f(x)bax(其中a，b为常数，且a0，a1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)(1)试确定f(x)；(2)若不等式m0在x(，1时恒成立，求实数m的取值范围解：(1)因为f(x)bax的图象过点A(1，6)，B(3，24)，所以得a24，又a0且a1，所以a2，b3，所以f(x)32x.(2)由(1)知m0在x(，1时恒成立可化为m在x(，1时恒成立令g(x)，则g(x)在(，1上单调递减，所以mg(x)ming(1)，故所求实数m的取值范围是.【点拨】解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R上单调，过定点等；对于底数a与1的大小关系不明确的，要分类讨论；涉及零点问题往往要数形结合；不同底的往往要化同底，并注意换元思想的应用(1)若函数f(x)ax(a0，a1)在2，2上的函数值总小于2，则实数a的取值范围是_(2)若不等式12x4xa0在x(，1时恒成立，则实数a的取值范围是_解：(1)要使函数f(x)ax(a0，a1)在2，2上的函数值总小于2，只需f(x)ax(a0，a1)在2，2上的最大值小于2.当a1时，f(x)maxa22，解得1a；当0a1时，f(x)maxa22，解得a因为函数y和y在R上都是减函数，所以当x(，1时，所以，从而得.故a.故填.点睛：1指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论2比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量3作指数函数yax(a0，且a1)的图象应抓住三个点，(0，1)，(1，a)课时作业：1计算1.580.25()A0 B1 C. D2解：原式222.故选D.2(2016海南中学模拟)已知函数f(x)42ax1(a0且a1)的图象恒过点P，则点P的坐标是()A(1，6) B(1，5) C(0，5) D(5，0)解：当x1时，f(1)6，与a无关，所以函数f(x)42ax1的图象恒过点P(1，6)故选A.3(2017德州一模)已知a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbc，所以b，所以ac，所以bc1时，a，b，c的大小关系是()Acab BcbaCabc Dac1时，0a1，clogx0，所以ca0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2解：由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x).由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x