《抽样分布与估计》PPT课件.ppt

,现代统计与SAS,统计推断的过程,总体均值、比例、方差等,抽样分布,样本 对应的不含未知参数的实值函数 称作统计量，记作：,它本身也是一随机变量。它的分布称作抽样分布。,数理统计需要用统计量来推断被抽样的总体，因此讨论 抽样分布就成为数理统计的一个十分重要和基本的理论课题。,这里主要介绍某些常用的统计量的分布，要求能正确 掌握各种分布成立的条件和结论，为将来的应用打下基础。,对总体 X 和给定的 ，若存在 ，使,，则称 为 X 分布的上侧 分位数或,分位数,上侧临介值，使,的 称为 X 分布的双侧 分位数。,特别地，若 X 的分布密度是关于 轴对称的，则它 的双侧分位数是使 的,例1 设,求上侧 分位数及双侧 分位数。,解：,分位数,例2 设,求上侧 分位数及双侧 分位数。,解：,分位数,正态总体的样本均值的抽样分布,的一个样本。则,证明：,因,更进一步，有,的一个样本。则,因为 所以， 也服从正态分布。,证法2：由独立同分布的中心极限定理，,又,所以,例3 设 是它的一个样本，,求,解：,正态总体的样本均值的抽样分布,自由度记作,正态总体的样本方差的抽样分布,则统计量,称 服从自由度为 的 分布，有时也将 记作,分布,即：服从标准正态分布的相互独立的 个随机变量 的平方和服从 分布。,正态总体的样本方差的抽样分布,服从 分布的随机变量 的概率密度函数为,其中,服从 分布的随机变量的分布密度图形：,分布的性质,设 且它们相互独立，则,求 的分布。,解：,例4 设 是它的一个样本，,样本均值的抽样分布与中心极限定理,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的数学期望为，方差为2/n。即XN(,2/n),中心极限定理(central limit theorem),中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,正态总体的样本方差的抽样分布,定理 5.1,则（1）样本均值 与样本方差 相互独立。,（2）,（3）,例5 设 是它的一个样本，,解：,使,例5 设 是它的一个样本，,使,解：,例5 设 是它的一个样本，,使,解：,查表得：,即：,（上侧临介值： ）,正态总体的样本均值与标准差之比的抽样分布,在后面讲到的参数估计和假设检验中，对于正态总体 的样本 ，经常要用到统计量：,欲考察它的分布要先介绍一个抽样分布 分布,它描述的是样本均值与标准差之比。,记作：,正态总体的样本均值与标准差之比的抽样分布,例6 设,求上侧 分位数及双侧 分位数。,解：,正态总体的样本均值与标准差之比的抽样分布,正态总体的样本均值与标准差之比的抽样分布,则统计量：,则统计量：,其中：,前面提到：两个 随机变量的和的分布仍是 分布。,它是描述两个 随机变量的商的分布的。,两个正态总体的样本方差之比的抽样分布,但两个 随机变量的商的分布却是,相互独立，则随机变量,称 F 服从第一自由度为 ，第二自由度为 的 F 分布。,两个正态总体的样本方差之比的抽样分布,例7 若 求 的分布。,解：因为,两个正态总体的样本方差之比的抽样分布,还可利用下列公式求出当 较大时的近似临介值：,如,两个正态总体的样本方差之比的抽样分布,则统计量：,定理5.4,解：,如果随机变量的概率密度函数为,其中 且,则称 X 服从 分布，记作,分布与 函数（附录）,称为 函数。有如下性质：,当 时收敛，且,当 时有,例2,由此也可说 函数是阶乘的推广。,分布的一个特殊情形 是一指数分布。,如果随机变量的概率密度函数为,其中 且,则称 X 服从 分布，记作,很多重要分布是 分布的特殊情形。,分布的另一特殊情形 是 分布。,抽样分布(sampling distribution),抽样分布与总体分布的关系,样本均值的数学期望 样本均值的方差 重复抽样 不重复抽样,样本均值的抽样分布(数学期望与方差),样本均值的抽样分布(数学期望与方差),比较及结论：1. 样本均值的均值(数学期望) 等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n,样本比例的抽样分布,总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比 不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比 总体比例可表示为 样本比例可表示为,比例(proportion),容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布 当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似 一种理论概率分布 推断总体总体比例的理论基础,样本比例的抽样分布,样本比例的数学期望 样本比例的方差 重复抽样 不重复抽样,样本比例的抽样分布(数学期望与方差),区间估计的图示,将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10,置信水平,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个,置信区间 (confidence interval),置信区间与置信水平,均值的抽样分布,(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含,影响区间宽度的因素,1.总体数据的离散程度，用 来测度 2.样本容量， 3.置信水平 (1 - )，影响 z 的大小,5.3 总体均值的区间估计,正态总体且方差已知，或 正态总体，方差未知、大样本 正态总体，方差未知、小样本,一个总体参数的区间估计,总体均值的区间估计 (正态总体、已知，或非正态总体、大样本),总体均值的区间估计(大样本),1. 假定条件 总体服从正态分布,且方差() 未知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30) 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,重复抽样,不重复抽样,总体均值的区间估计(例题分析),【例】某种零件的长度服从正态分布，从某天生产一批零件中按重复抽样方法随机抽取9个，测得其平均长度为21.4cm。已知总体标准差为=0.15cm。试估计该批零件平均长度的置信区间，置信水平为95%,解：已知：= 0.15cm，n=9，x=21.4，1-=95%,即：21.40.098=（21.302，21.498），该批零件平均长度的置信区间为21.302cm21.498cm之间,总体均值的区间估计(例题分析),解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得： 总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该食品平均重量的置信区间为101.44克109.28克之,总体均值的区间估计(例题分析),【例】一家保险公司收集到由36个投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间,总体均值的区间估计(例题分析),解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得： ， 总体均值在1-置信水平下的置信区间为,投保人平均年龄的置信区间为37.37岁41.63岁,总体均值的区间估计 (正态总体、未知、小样本),总体均值的区间估计(小样本),1. 假定条件 总体服从正态分布,且方差() 未知 小样本 (n 30) 使用 t 分布统计量,总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,t 分布,t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的t分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，t分布也逐渐趋于正态分布,总体均值的区间估计(例题分析),【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间,总体均值的区间估计(例题分析),解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131。根据样本数据计算得： ， 总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时1503.2小时,5.4 总体比例的区间估计,大样本重复抽样时的估计方法 大样本不重复抽样时的估计方法,总体比例的区间估计,总体比例的区间估计,1. 假定条件 总体服从二项分布 可以由正态分布来近似 使用正态分布统计量,3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为,总体比例的区间估计(例题分析),【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间,解：已知 n=100，p65% , 1-= 95%，z/2=1.96,该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%74.35%,估计总体均值时样本容量的确定,估计总体均值时样本容量n为 样本容量n与总体方差2、边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为 与总体方差成正比 与边际误差成反比 与可靠性系数成正比,估计总体均值时样本容量的确定,其中：,估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析),【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？,估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析),解: 已知 =500，E=200, 1-=95%， z/2=1.96 12 /22置信度为90%的置信区间为,即应抽取97人作为样本,估计总体比例时样