数学基础知识补充.ppt

数学补充一,1. 变量：在某个现象或过程中本身取值会发生变化的量,一、变量、常量和函数,2. 常量：在某个现象或过程中本身取值保持一定的量,3. 函数：x,y为两个相互联系的变量，若在x的定义域内的 任意一个x值都有一个y值与之对应，则称y是x的函数,自变量x的变化范围函数f(x)的定义域,所有y的取值函数y的值域,1 微积分初步, 幂函数 y = xn(n为任意实数) 三角函数 y = sinx, cosx, tgx, ctgx等 指数函数 y = ex, ax 对数函数 y = logax, lnx 反三角函数 y = arcsin x , arccos x 等,4. 基本初等函数,5. 复合函数,用基本初等函数复合而成的函数,x = u2 ，u = cos，=t,二、导数,1 微分,1) 自变量 x 的增量:,2) 函数增量:,3) 平均变化率:,y和x之间满足什么关系?,线性函数,其它函数的增量能否写成类似的形式？,抛物线函数,含有高阶无穷小，其它函数类似。,正旋函数,e 指数,举例：,4) 自变量微分,时自变量增量x, 改记成 dx,5) 函数微分,时相应的函数增量y, 记成 dy,dy与dx的关系,微分 忽略高阶无穷小,补充,数学上可以证明, 对无穷小量dx, 有,说明：符号“d”的含义,微小的增量,例如：dx、dm、dV,微小量,例如：dm、dV,2 微商（导数）,对 y = f (x) ，若 x 无限趋近某一数值x0 ，f (x) 则无限趋近某一确定数值a，则a就是函数f (x)在x趋近x0时的极限，记作：,在有函数值的情况下,极限就是函数值;在无函 数值的情况下,极限就显得格外重要了，例如：,1) 极限,2) 导数,a. y对x的平均变化率,称作函数y=f(x)对自变量x的导数，,b. y对x的导数,x0时,的极限,定义为：,等于f(x)曲线在x处切线的斜率,c. 导数的几何意义,d. y 对 x 的二阶导数,导函数 f (x) 对 x 的导数叫做 y 对 x 的二阶导数，记作,例 函数导数的几个实例,3) 复合函数的微商,链式法则:,a. 导数的基本运算法则,设,例,由数学归纳法,4) 基本求导公式：,(1) (C)=0， (2) (xn)=nxn-1， (3) (sin x)=cos x， (4) (cos x)=-sin x， (5) (tan x)=sec2x， (6) (cot x)=-csc2x， (7) (sec x)=sec x tan x， (8) (csc x)=-csc x cot x， (9) (ax)=ax ln a ， (10) (ex)=ex，,，,极大值或极小值? 则由该点的二阶导数来确定,1) 导数与极值,3 微商（导数）的应用,极大值点,极小值点,O,x,y,y,P,x,Q,M,N,拐点,定理1,定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达(LHospital)法则。,2）洛必达法则,例：,例：求,三、不定积分,若 F (x) = f(x), 则 F(x) + c = f(x), F(x) + c 就叫做 f(x) 的原函数,有无穷多个；,函数 f(x) 的所有原函数，就叫 f(x) 的不定积分，记为：,1、原函数,2、不定积分,f (x) 被积函数,x 积分变量,积分符号,C 积分常数,3. 不定积分的性质,(先导后积等于自身加上任意常数),(先积后导等于自身),例题,（其实，不定积分 就是导数的反运算）,4. 不定积分的运算法则,1） 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即,2） 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子 可以提到积分号外面来，即,3）若,且,则,2 定积分,一、定积分,1 曲边梯形的面积,曲边梯形是指在直角坐 标里 由y=f(x)曲线与x=a, x=b和x轴三条直线所围 成的图形。,思想：整体分割小矩形求和得整体近似值。 当分割无限细密时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值。,把曲边梯形的底a,b分成n个小区间,第 i 个小曲边梯形的面积记为,小区间,的长度记为,把n个小矩形总面积,曲边梯形的面积,2 函数f(x)在区间a,b上的定积分,定积分的几何意义为曲边梯形面积,设函数 y = f(x) 在区间 a,b上连续，,把 a,b分成宽为x的 n个小区间，,当 n 时，,的极限,叫函数 y = f(x) 在区间 a,b 上的定积分，,记作：,a,b积分区间,积分号；,被积函数；,被积表达式；,积分变量；,积分的下限与上限。,说明,定积分的几何意义：,在不同的实际问题中，积分,可以有完全不同的实际意义，但在几何图形上，,它都表示由曲线 y=f(x)、 x轴及直线x=a，x=b所围成的曲边梯形面积的代数和。,二、定积分的主要性质,1、对调积分上下限， 定积分改变符号,2、被积函数中的常数因子 可以提到积分符号外面,3、两个函数的和或差在a,b上 的定积分等于这两个函数分 别在a,b上定积分的和或差,4、如果把区间a,b分成 a,c和c,b则,三、牛顿莱布尼茨公式,设F(x)为函数f(x)在区间a,b上的一个原函数,即 F (x)=f(x), 则,通过不定积分计算定积分！,例 已知：物体速度,其中v0，a是常数,求：0-t 时间内的路程,四、定积分中值定理：,如果函数f(x)在闭区间a, b上连续， 则在积分区间a, b上至少存在一个点x ， 使下