生活中的数学——初探数学建模.ppt

生活中的数学 初探数学建模,汕头市第一中学 肖朝欣,什么是数学建模,当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模也称数学实验，是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决“实际问题的一种强有力的数学手段。,数学在各领域中的地位,数学建模,能用数学解决的问题,数学理论的加工,今天我们要说什么,目 录,你能推算出案发时间吗？,某日凌晨一住所发生一件凶杀案，警方于6时到达现场后测得尸温26，室温17，2小时后尸温下降了3，试根据冷却定律建立差分方程，估计凶杀案发生的时间. 冷却定律为 其中室温为C，人体常温即初始提问为T0， 死亡后第t小时尸体温度为T，k为可求常数.,如何建模,可设正常人体温为37 假设案发之后没有外界环境对尸体温度产生客观影响,建模过程,使用冷却定律作理论依据来帮助计算 列出相应适用的数学方程,分析过程,由公式 根据题意，可将 T=23,C=17,To=26,t=2 代入上式，可求得常数 故可建立差分方程：,分析过程,Ti表示经过第i小时尸体的温度，借助计算机的计算我们可以得到，从凌晨开始后每隔一小时的尸体温度状况： 凌晨到早上6点尸温的变化,描点作出温度与时间的关系图,结果分析,由上述数据，当受害者死亡接近4小时时，尸温接近26，而警方于6时测得尸温为26。而当受害者死亡接近6小时时测得尸温约为23也与题目吻合，从而我们推测凶杀案发生的时间约为凌晨2点。,你能当大预言家吗？,建立人口增长模型，用表1的数据预报2010年美国的人口，并进行模型检验.下表是17901990年美国每隔十年的人口记录： 表1 美国人口统计数据(百万人),建模过程,通过使用散点图，用点 将数据在图象上描绘出来，观察变化,可以借助计算机软件等手段找到满 足接近图象散点的函数，将其表达式求出来,利用拟合出来的函数计算相应的结果,描绘散点图,数据处理,由实验数据散点图知，美国人口数量xk随着时间而增加。为了找到增长率变化的数量规律，我们用前差公式定义美国人口数量在第k个十年的增长率，即,从表格中22个数据我们应该得到21个增长率 rk(k=1,2,21)，将它们也画成散点图.,年增长率的散点图,拟合一次函数的效果图,实验数据和模拟值的对照,人口增长的模拟效果图,结果猜测,由以上数据的模拟整合，我们可以预测2010年美国人口数量。2010与2000年相比，其增长率大概为0.12左右，而2000年的人口数量为281.4百万人，故可计算得2010年美国人口数量大概为305.2百万人。,山猫们活得好吗？,据报道，某种山猫在教好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%，0.55%和-4.50%，假定开始时有100只山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变化过程及趋势： （1）3种自然环境下25年的变化过程； （2）如果每年捕获3只，会发生什么情况？山猫会灭绝吗？如果每年只捕获1只呢？,山猫数量的影响因素,问题一,记第k（k=0,1,2）年山猫的数量为xk，设自然环境下的年平均增长率为r，则列式得,等比数列,描绘三种条件下演变曲线,问题一结果分析,在较差的自然环境下，山猫的数量会越来越少，最后可能将濒于灭绝； 在中等和较好的自然环境下，由于增长率大于0，即山猫数量呈几何级数无限增长，且在较好的自然环境下增长得快一些。,问题二,如果每年捕获山猫若干只，设自然环境下的年平均增长率为r，且每年捕获的数量为b，则列式得,下面我们要分析的就是b=1和b=3两种情况.,每年捕捉3只山猫后的演变图,由图形可知： 直线是向下递减弯曲的，这说明如果每年捕获3只山猫，那么不管在哪种自然环境下，山猫最终都将濒临灭种。而且在第20年时，在较差的自然环境下，山猫就灭种了。,每年捕捉1只山猫后的演变图,当每年捕获1只山猫时，由图形可知