四川省宜宾市一中2017_2018学年高三数学上学期第三周导数的应用一教学设计.docx

导数的应用(一)考点梳理函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内_；如果f(x)0，故单调递增区间是(0，)故选A. (2016湛江模拟)函数f(x)的单调递减区间是()A(e，) B(1，) C(0，e) D(0，1)解：f(x)，由x0及f(x)0解得xe.故选A. (2017浙江)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()A BC D解：由导函数yf(x)的图象可知，该图象在x轴的负半轴上有一个零点(不妨设为x1)，并且当xx1时，f(x)0；当x(x2，x3)时，f(x)x3时，f(x)0.因此函数f(x)在xx1处取得极小值，在xx2处取得极大值，在xx3处取得极小值对照四个选项，选项A中，在xx1处取得极大值，不合题意；选项B中，极大值点应大于0，不合题意；选项C中，在xx1处取得极大值，也不合题意；选项D合题意故选D. 函数f(x)x2cosx(x(0，)的单调递减区间为_解：f(x)12sinx，令f(x)0得sinx，故x.故填. (2017兰州模拟)若f(x)x2bln(x2)在1，)上是减函数，则实数b的取值范围是_解：由已知得f(x)x0在1，)上恒成立，所以b(x1)21在1，)上恒成立，所以b1.故填(，1类型一导数法研究函数的单调性(1)函数f(x)1xsinx在(0，2)上是()A增函数B减函数C在(0，)上单调递增，在(，2)上单调递减D在(0，)上单调递减，在(，2)上单调递增解：f(x)1cosx0在(0，2)上恒成立，所以f(x)在R上递增，在(0，2)上为增函数故选A.(2)设函数f(x)x3(1a)x24ax24a，其中常数a1，则f(x)的单调减区间为_解：f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由a1知，当x2时，f(x)0，故f(x)在区间(，2)上是增函数；当2x2a时，f(x)0，故f(x)在区间(2，2a)上是减函数；当x2a时，f(x)0，故f(x)在区间(2a，)上是增函数综上，当a1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2，2a)上是减函数故填(2，2a)(3)函数f(x)x3ax为R上增函数的一个充分不必要条件是()Aa0 Ba0 Ca0 Da0解：函数f(x)x3ax为R上增函数的充分必要条件是f(x)3x2a0在R上恒成立，所以a(3x2)min.因为(3x2)min0，所以a0.而(，0)(，0故选B.【点拨】(1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不等式，其解集即为函数的单调区间，含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解，其解集即为函数的单调区间(2)所有求解和讨论都在函数的定义域内，不要超出定义域的范围确定函数单调区间的步骤：确定函数f(x)的定义域；求f(x)；解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间应注意的是，个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f(x)x3，f(x)3x20(x0时，f(x)0)，但f(x)x3在R上是增函数(2015重庆)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间解：(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，所以3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，得x(x1)(x4)0.解之得1x0或x4.所以g(x)的单调减区间为(1，0)和(，4)类型二利用导数研究含参数函数的单调性(2016山东)已知f(x)a(xlnx)，aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)略解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0，x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增；x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减0a2时，1，当x(0，1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减；a2时，1，在x(0，)内，f(x)0，f(x)单调递增；a2时，01，当x或x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当0a2时，f(x)在内单调递增，在 内单调递减，在(1，)内单调递增【点拨】(1)大多数高考试题中确定函数的单调性需要分类讨论，讨论的标准是导数的零点在定义域内的分布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号(2)研究函数单调性时要注意函数的定义域，要从函数本身确定函数定义域，不要求导后从导数上确定函数的定义域(3)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论分类讨论时，要做到不重不漏(2017临沂调研)设函数f(x)alnx，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数g(x)f(x)ax(a0)的单调性解：(1)由题意知a0时，f(x)，x(0，)此时f(x).可得f(1)，又f(1)0，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10.(2)g(x)alnxax，g(x)a.由于x0，且a0，故当a0时，g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当a0时，g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增类型三已知函数单调性确定参数的值(范围)(1)若函数f(x)ln(ax1)(x0，a0)在区间1，)上单调递增，则a的取值范围是_(2)若函数f(x)ln(ax1)(x0，a0)的单调递增区间是1，)，则a的取值集合是_解：(1)f(x)，由f(x)在1，)上单调递增可得，对任意x1，f(x)0a(x21)2.所以a1，所以a1.故填1，)(2)f(x)的单调递增区间为1，)，即f(x)仅在区间1，)上单调递增令f(x)0ax2a20x2.若0，即a2，则x2恒成立，f(x)的单调递增区间为0，)，不符合题意；若0，即0a2，则f(x)的单调递增区间为，所以1，即a1时，符合题意故填a|a1【点拨】(1)f(x)在区间D上单调递增(减)，只要f(x)0(0)在D上恒成立即可，如果能够分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系(2)二次函数在区间D上大于零恒成立，讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论(3)注意问题的问法，如“在某区间单调增(减)”与“单调增(减)区间是某区间”是不同的(1)(2016九江一模)已知函数f(x)x22axlnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解：由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，因为g(x)x在上单调递减，所以g(x)g，所以2a，即a.故填.(2)已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb (a，bR)，若函数f(x)在区间(1，1)上不单调，则a的取值范围是_解：易知f(x)(xa)(3xa2)0的根x1a，x2.只要1x11或1x21，x1x2即可满足要求，则1a1或5a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解：f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件故选A.4设函数f(x)x29lnx在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A(1，2 B(4，)C(，2) D(0，3解：因为f(x)x29lnx，所以f (x)x(x0)，当x0时，有00且a13，解得11时，f (x)k0恒成立，即k在区间(1，)上恒成立因为x1，所以01，所以k1.故选D.6(2016武汉模拟)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则()Aabc Bcba Ccab Dbca解：依题意得，当x0，f(x)为增函数；又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f，即有f(3)f(0)f，ca0)在x0处取得极值，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线x2y10.(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)，讨论g(x)的单调性. 解：(1)因为f(x)ax2bxk(k0)，所以f(x)2axb.又f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，从而b0.由曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y10相互垂直可知该切线的斜率为2，即f(1)2，即2a2，即a1.所以a1，b0.(2)由(1)知，g(x)(k0)，g(x)(k0)令g(x)0，有x22xk0.当44k1时，g(x)0在R上恒成立，故函数g(x)在R上为增函数；当44k0，即k1时，g(x)0，仅在x1处，g(x)0，故函数g(x)在R上为增函数；当44k0，即0k0，解得x1；由x22xk0，解得1xx2，则不等式(x2 018)2f(x2 018)4f(2)0的解集为()A(，2 016) B(2 018，0)C(，2 020) D(2 020，0)解： 由2f(x)xf(x)x2，x0，得2xf(x)x2f(x)x3，即x2f(x)x30.令F(x)x2f(x)，则当x0时，F(x)0，又F(x)在(，0)上是减函数，所以由F(2018x)F(2)得，2018x2，即x2020.故选C.33导数的应用(二)考点梳理1函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极大值，还是极小值的方法：一般地，当f(x0)0时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤：求f(x)； 求方程 的根；检查f(x)在上述根的左右对应函数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 2函数的最值与导数(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则_为函数在a，b上的最小值， 为函数在a，b上的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则 为函数在a，b上的最大值， 为函数在a，b上的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与端点处的函数值_，_进行比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_3实际问题中的导数，常见的有以下几种情形：(1)加速度是速度关于_的导数；(2)线密度是质量关于_的导数；(3)功率是功关于_的导数；(4)瞬时电流是电荷量关于_的导数；(5)水流的瞬时速度是流过的水量关于_的导数；(6)边际成本是成本关于_的导数4N型曲线与直线yk的位置关系问题如图，方程f(x)0有三个根x1，x2，x3时，极大值f(a)0且极小值f(b)0.曲线yf(x)与直线yk(k是常数)有一个交点时，见图中的直线或直线，极大值f(a)_k或极小值f(b)_k；曲线yf(x)与直线yk(k是常数)有两个交点时，见图中的直线或直线，极大值f(a)_k或极小值f(b)_k；曲线yf(x)与直线yk(k是常数)有三个交点时，见图中的直线.以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目自查自纠1(1)f(x)0f(x)0(2)f(x)0极大值极小值2(2)f(a)f(b)f(a)f(b)(3)f(a)f(b)最大值最小值3(1)时间(2)长度(3)时间(4)时间(5)时间(6)产量4基础自测 (2016武汉模拟)当函数yx2x取极小值时，x()A. B Cln2 Dln2解：令y2xx2xln20，得x.故选B. (2016四川)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4 B2 C4 D2解：f(x)3x212，所以x0，2x2时，f(x)2时，f(x)0，所以x2是f(x)的极小值点故选D. (2016岳阳模拟)函数f(x)lnxx在区间(0，e上的最大值为()A1e B1 Ce D0解：因为f(x)1，当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，e时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得最大值ln111.故选B. 已知x3是函数f(x)alnxx210x的一个极值点，则实数a_.解：f(x)2x10，由f(3)6100得a12，经检验满足题设条件故填12. 函数f(x)x2cosx的最大值是_解：f(x)12sinx，令f(x)0得sinx，从而x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)在x处取得极大值，即最大值.故填.类型一利用导数解决函数的极值问题(1)已知函数f(x)lnx，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.()求a的值；()求函数f(x)的单调区间与极值解：()对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.()由()知f(x)lnx，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0，5)时，f(x)0，故f(x)在(0，5)上为减函数；当x(5，)时，f(x)0，故f(x)在(5，)上为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln5.(2)设函数f(x)ax32x2xc.若f(x)在R上无极值点，则实数a的取值范围为_解：由题得f(x)3ax24x1.若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，即f(x)0或f(x)0恒成立当a0时，f(x)4x1，显然不满足条件；当a0时，f(x)0或f(x)0恒成立的充要条件是(4)243a10，即1612a0，解得a.综上，实数a的取值范围为.故填.【点拨】找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数的零点就是极值点(如yx3)，还要保证该零点为变号零点(1)已知函数f(x)x3cx在x1处取得极值()求函数f(x)的解析式；()求函数f(x)的极值解：()f(x)x2c，当x1时，f(x)取得极值，则f(1)0，即c0，得c.故f(x)x3x.()f(x)x2(x21)(x1)(x1)，令f(x)0，得x1或1.x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值因此，f(x)的极大值为f(1)1，极小值为f(1)1.(2)设aR，若函数yeax3x，xR有大于零的极值点，则()Aa3 Ba Da0在R上恒成立，所以f(x)无极值点；当a0得a3.故选B.类型二利用导数解决函数的最值问题(2015潍坊期末)函数f(x)exx(e为自然对数的底数)在区间1，1上的最大值是()A1 B1 Ce1 De1解：因为f(x)exx，所以f(x)ex1.令f(x)0，得x0.且当x0时，f(x)ex10；x0时，f(x)ex10，即函数f(x)在x0处取得极小值，f(0)1，又f(1)1，f(1)e1，比较得函数f(x)ex1在区间1，1上的最大值是e1.故选D.【点拨】(1)求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：求函数在(a，b)内的极值；求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；将函数f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值(2)含参数的函数的最值一般不通过比值求解，而是先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论(2017郑州模拟)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0，1上的最小值解：(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)k，当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0，1上单调递减，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(1)(1k)e.综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k1时，在(1)的条件下，x2axaxlnx成立解：f(x)lnxxa1(x0)(1)原题即为存在x(0，)，使得lnxxa10，所以alnxx1，令g(x)lnxx1，则g(x)1.令g(x)0，解得x1.因为当0x1时，g(x)1时，g(x)0，所以g(x)为增函数，所以g(x)ming(1)0.所以ag(1)0.所以a的取值范围为0，)(2)证明：原不等式可化为x2axxlnxa0(x1，a0)令G(x)x2axxlnxa，则G(1)0.由(1)可知xlnx10，则G(x)xalnx1xlnx10，所以G(x)在(1，)上单调递增，所以当x1时，G(x)G(1)0.所以当x1时，x2axxlnxa0成立，即当x1时，x2axaxlnx成立【点拨】用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；由作差或者作商来构造函数是最基本的方法(2017河北唐山一模)已知f(x)(1x)ex1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)，x1，且x0，证明：g(x)1.解：(1)f(x)xex.当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以f(x)的最大值为f(0)0.(2)证明：由(1)知，当x0时，f(x)0，g(x)01.当1x0时，g(x)1等价于f(x)x.设h(x)f(x)x，则h(x)xex1.当x(1，0)时，0x1，0ex1，则0xex1，从而当x(1，0)时，h(x)0，h(x)在(1，0)上单调递减所以当1x0时，h(x)h(0)0，即g(x)1.综上，总有g(x)1.类型五利用导数解决实际问题某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2.其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2，3x6.从而，f(x)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大【点拨】函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自变量、因变量；二列，列出函数关系式，并写出定义域；三解，解出函数的最值，一般常用导数求解；四答，回答实际问题已知圆柱的体积为16 cm3，则当底面半径r_cm时，圆柱的表面积最小解：圆柱的体积为Vr2h16r2h16，圆柱的表面积S2rh2r22r22，由S20，得r2.因此r(0，2)2(2，)S0S极小值，也是最小值所以当底面半径r2时，圆柱的表面积最小故填2.点拨1导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件2极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值3高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键4用导数方法解决二元条件不等式问题，往往要剥离出一个主元，同时将另一个元用主元表示，构造出一个一元函数，再将问题转化为定义域上的最值问题5方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论6注意以下三者的区别：af(x)恒成立af(x)max；af(x)有解af(x)min；af(x)有解af(x)的值域课时作业1(教材改编题)函数yx3x23x9的极小值点是()A0 B1 C D3解：yx22x3，令y0得x1或3，易知3是极小值点故选D.2(2016贵阳模拟)函数f(x)x2lnx的最小值为()A. B1 C0 D不存在解：f(x)x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1.所以f(x)在x1处取得极小值也是最小值，则最小值为f(1)ln1.故选A.3若函数f(x)x36bx3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A(0，1) B(，1) C(0，) D.解：f(x)3x26b，因为f(x)在(0，1)内有极小值，所以b0，令3x26b0得x，从而只要01，得0b.故选D.4(2017合肥模拟)已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于()A. B. C. D.解：由图象可知f(x)的图象过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1bc0，84b2c0，解得b3，c2，所以f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.x1，x2是方程f(x)3x26x20的两根，因此x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x24.故选C.5已知函数f(x)ax3lnx，其中a为常数若f(x)在(0，)上既存在极大值也存在极小值，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.解： f(x)a(x0)，由题设可得方程ax23x20在(0，)上有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，则有 解得0a.故实数a的取值范围为.故选B.6(2017西安模拟)定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x)，满足f(x)f(x)，且f(0)2，则不等式f(x)2ex的解集为()A(，0) B(，2) C(0，) D(2，)解：设g(x)，则g(x)，因为f(x)f(x)，所以g(x)0，所以g(x)在R上为增函数，因为f(0)2，所以g(0)f(0)2，因为f(x)2ex，所以2，即g(x)g(0)，所以x0，所以不等式的解集为(，0)故选A.7函数f(x)x33x2的极大值为_解：f(x)3x26x，令f(x)0x0或x2，易得极大值为f(0)0.故填0.8已知f(x)xex，g(x)(x1)2a，若存在x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则实数a的取值范围_解： 由题意得，g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值f(x)xexex(x1)ex，显然x1是函数f(x)的极小值点也是最小值点，故f(x)minf(1)e1，又函数g(x)的最大值为a，故a.故填.9(2016成都模拟)若方程x33xm0在0，2上有