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,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节,定理4.1,P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 为全微分方程,则,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关的条件.,1. 求原函数 u (x, y),2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .,一、全微分方程,则称,为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.1 求解方程,解：,因此原方程为全微分方程. 取x0=0,y0=0, 利用公式得,其中C为任意常数.,例4.2 求解初值问题,解：,因此原方程为全微分方程. 取x0=0,y0=2, 利用公式得,其中C为任意常数.,将初值条件带入此通解，得C=0.,故所求初值问题的解为,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得,故方程可,变形为,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求解,解:, 这是一个全微分方程 .,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考: 如何解方程,这不是一个全微分方程 ,就化成上例 的方程 .,但若在方程两边同乘,例2 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 解方程,解法1 积分因子法.,原方程变形为,取积分因子,故通解为,此外, y = 0 也是方程的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2 化为齐次方程.,原方程变形为,积分得,将,代入 ,得通解,此外, y = 0 也是方程的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法3 化为线性方程.,原方程变形为,其通解为,即,此外, y = 0 也是方程的解.,机动 目录 上页
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