概率论与数理统计第一章.ppt

使用教材：,浙江大学 盛骤 谢式千 潘承毅 编,概率论与数理统计 简明教程 同济大学概率统计教研组编,概率论与数理统计（第四版）,教 学 内 容,第一章 概率论的基本概念,第二章 随机变量及其分布,第三章 多维随机变量及其分布,第四章 随机变量的数字特征,第五章 大数定律及中心极限定理,第六章 样本及抽样分布,第七章 参数估计（点估计，区间估计）,第八章 假设检验 （均值、方差的检验；分布拟合检验）,第九章 一元线性回归分析,预备知识： 排列与组合,（不放回有序抽样）,（放回有序抽样）,（不放回无序抽样）,举例： 求排列或组合数,例1 班级共有42个学生分三组，每组14人，现 在每组中任意取3人。,(1)3人来自第一组 ； （2）3人来自同一组；,（3）3人均来自不同组；,解：,(加法原理 “或”),(乘法原理 “且”),(一种试验),例2 某产品共30件，内含正品23件，次品7件， 从中任取5件。 （1）此5件中恰好有2件次品； （2）每取一件看后放回，再取下一件求前二次为 次品，后三次为正品的可能数； （3）每取一件看后不放回，再取下一件求前二次为 次品，后三次为正品的可能数；,解：,（1）（不放回无序）,（2）（放回有序）,（3）（不放回有序）,(三种试验),例3 有10本书放在书架上,(1)某指定的三本书放在一起； (2)上述书是5本中文，5本外文且恰好相间排放；,解：,(1) 三本书作为一个元素，共8个元素做全排列,(2),一本中文，一本外文为一个元素共5个元素；,5个元素可以任意调换；,第一本书可以是中文或外文；,例4,某城市电话号码升为6位数,(1)共有多少个号码 (2)第一位是6或8的有多少个号码 (3)末位数是8，首位数是6有多少个号码 (4)末位数是8的有多少个号码 (5)号码均不重复有多少个号码,不能为0,第一章 概率论的基本概念,第一节 随机试验,在自然界和人类社会中存在着两类不同,的现象，,一类是确定性现象，另一类是不确,定性现象（随机现象）。,确定性现象：,在一定条件下一定会发生或一,定不会发生的现象；,不确定性现象：,在相同条件下可能发生也可,能不发生, 事先无法确切知道其结果的现象。,为了研究随机现象，就要对客观事物进行,观察，观察的过程称为随机试验（试验）。,在概率论里所讲的试验与一般现实生活中的试验,有所不同，它必须具有以下三个特点：,(1) 在相同的条件下试验可重复进行；,(2) 每次试验的结果具有多种可能性, 且在试验之,前，试验的所有可能结果是可以明确知道的；,(3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现,哪一个结果。,人们经过长期实践并深入研究后，发现,随机现象虽然具有不确定性，但在大量重复,试验下，它的结果却呈现出某种规律性。,这种在大量重复试验中所呈现的规律性，,称为统计规律性。,概率论和数理统计是数学的一个分支，,它研究的对象是随机现象的统计规律性。即,在相同的条件下，通过大量重复的试验来分,析研究随机现象出现的数量规律。,如：硬币投掷试验：投硬币n次，正面出现的频数,第二节 样本空间、随机事件,（一）样本空间,对于一个试验，尽管各次试验的结果,在试验之前无法预知，但试验的所有可能,结果所组成的集合是已知的。,我们将随机试验 E 的所有可能的结果,所组成的集合称为 E 的样本空间，,记为 S .,样本空间的元素，称为样本点。,例如,试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、反面T出现的情况:,S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),(H,T)：,(T,H):,(T,T)：,(H,H):,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 .,则样本空间,几个具体试验,2个样本点,8个样本点,试验E1:,抛一枚硬币, 观察正面H、反面T出现的情况。,样本空间S1:,试验E2:,将一枚硬币抛掷三次, 观察正面出现的次数。,样本空间S2:,试验E3:,记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼,唤次数。,样本空间S3:,试验E4:,在一批灯泡中任意抽取一只, 测试它的寿命。,样本空间S4:,上述试验具有下列共同的特点:,(1) 试验可以在相同的条件下重复进行;,(2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能的结果;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试验.,（二）随机事件,试验E的样本空间S的子集称为E的随机,事件，简称事件。,在每次试验中, 当且仅当这一子集中的,一个样本点出现时，称这一事件发生。,特别地，由一个样本点组成的单点集，,称为基本事件。,每一基本事件对应着试验,的一个可能结果。,如试验E1有两个基本事件：,和,记为,如试验E3有无数个基本事件：,两个特殊的事件：必然事件和不可能事件,必然事件：,样本空间S作为自身的子集，包含了所有 的样本点，其对应的事件就是必然事件。,不可能事件：,空集 作为样本空间S的子集，它不包 含任何样本点，其对应的事件就是不可 能事件。,例：,设 表示“掷骰子出现 i 点”这一基本事件，,则样本空间为,且,表示“掷骰子出现奇数点” 这 一事件；,而,表示“掷骰子出现的点,数大于或等于5点”这一事件。,（三）事件间的关系与事件的运算,设试验E的样本空间为S，而,是S的子集。,如果事件A发生必然导致B发生，即属于A的 每一个样本点也属于B，则称事件B包含A。,(或称A包含于B，A是B的子事件),记为,或,对任意事件A,2. “事件A与B至少有一个发生”这一事件称为 事件A与B的并(和)事件。,记为,它是由属于A或属于B的所有样本点组成的,集合。,即：,此定义可推广到有限个或无限个事件。,即：,n个事件的和事件,无限可列个事件的和事件,3. “事件A与B同时发生”这一事件称为事件A与B的交(积)事件。,记为,它是由既属于A又属于B的所有公共样本点,组成的集合。,即：,或 AB .,此定义可推广到有限个或无限个事件。,即：,n个事件的积事件,无限可列个事件的积事件,4. “事件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差事件。,记为,它是由属于A但不属于B的那些样本点组成,的集合。,即：,通常把两个互不相容的事件A与B的和事件,5. 如果事件A与B在一次试验中不可能同时发生，即 则称事件A与B是互不相容 的，或互斥的。,记为A+B。,如果n个事件,中任意两个事件,都不可能同时发生，即,则称这n个事件是两两互不相容的。,或简称这n个事件是互不相容的。,如对一个试验而言，它的各个基本事,件之间是互不相容的。,若事件A与B互为对立事件，则在一次试验中，事件A与B必有一个发生，且只有一个发生。,事件A的逆事件记为,6. 若 且 则称事件A与B互为逆事件；又称事件A与B互为对立事件。,它是由样本空间S中所有不属于A的那些样本点组成的集合。,事件的运算规律,设试验E的样本空间为S, 而,是S的子集。,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,(4) 德.摩根律,另外一些常用的运算规律,例1：设一个工人生产了四个零件，又 Ai 表示事件 “他生产的第i个零件是正品”( i=1,2,3,4)。试用诸Ai 表示下列各事件。 没有一个产品是次品； 至少有一个产品是次品； 只有一个产品是正品； 至少有三个产品不是次品。,解：,即最多只有一个是次品,例2： 一名射手连续向某个目标射击三次，事件 Ai 表示该射手第i次射击时击中目标( i=1,2,3)。试用文 字叙述下列事件。,前两次中至少有一次击中。,第二次未击中。,三次中至少有一次击中。,三次都击中。,第三次击中但第二次未击中。,后二次中至少有一次未击中。,事件间的关系与运算小结,互斥分解：,包含关系：,第三节 频率与概率,（一）频率,在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。,比值,称为事件A发生的频率，,记为,显然，频率具有下述基本性质：,(1) 有界性,(2) 规范性,(3) 有限可加性,若,是两两互不相容,的事件，则,在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具 有稳定性.即通常所说的统计规律性.频率也称为概率的统计定义。,如：硬币投掷试验：投硬币n次，正面出现的频数,（二）概率,设E是随机试验，S是它的样本空间。 对于E的每一事件A赋于一个实数，记为,称为事件A的概率。,如果集合函数,满足下列条件：,(1) 非负性：,对于每一个事件A，有,(2) 规范性：,对于必然事件S，有,(3) 可列可加性：,设,是两两互不相容的,事件，即,则有,概率的统计定义(频率)具有应用价值但在理论上有缺陷,在第五章中，我们将证明：,概率的一些重要性质：,性质1,性质2,概率的有限可加性,若,是两两互不相容的事件，则有,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.,了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.,性质3,从而有,性质4,对任一事件A，有,性质5,对任一事件A，有,性质6,（逆事件的概率）,（加法公式）,对任意两个事件A，B 有,推论,若A，B互斥，则,加法公式可推广到有限个事件上去。,如对任意三个事件A，B，C，有,例1：设事件A，B的概率分别为 与,求在下列三种情况下,的值。,解：,例2：设A, B, C是三事件，且,求A, B, C至少有一个,发生的概率。,解：,A, B, C至少有一个发生的概率,3.,4.,解：,解：,一、古典概型,假定某个试验有有限个可能的结果,且所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即 的出现机会.,e1, e2, ，eN ,常常把这样的试验结果称为“等可能概型”.,第四节 古典概型,如掷硬币、,骰子、,摸球等。,e1, e2, ，eN,试验结果,因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得 . 也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.,1,3,2,4,5,6,7,8,9,10,10个球中的任一个被取出的机会都是1/10,例如，一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球 . 将球编号为110 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,10 .,称这样一类随机试验为古典概型.,2,且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同 .,S=1,2,10 ,则该试验的样本空间,如i =2,对古典概率试验，假定样本空间S所含的基本事件总数为n，事件A所包含的基本事件总数为k。则,由于等可能及基本事件是互不相容的,例1：一部四卷本的文集按任意次序放到书架上去， 问各册从左到右或从右到左恰成1、2、3、4的 顺序的概率是多少？,解：,例2：100个产品中有3个次品，任取5只，求其次品 数分别为0，1，2，3的概率？,解：,设 Ai 表示取出的产品中有i个次品。,古典概型大致可归为三类，它们具有典型的意义,（1）抽球问题 （2）分房问题 （3）随机取数问题,各种抽球问题,黑白球可换成甲乙物;合格不合格等,E:每x+y个球构成一基本事件,E:每K+1个排列好的球构成一基本事件,(n间房自N间房中选出),可把人看成质点、旅客、信；房看成格子、车站、信封等,例如：概率论中有一个历史上颇为有名的问题：要求 参加某次集会的n个人 没有两个人生 日相同的概率？,解：,分析：,每个人的生日都以同样的概率 落在一年 的365天中。,现要求n个人中没有两个人生日相同，即n个 人生日均不相同。,n,P,10,0.88,20,0.59,30,40,50,0.29,0.11,0.03,例5：一袋中装有n-1只黑球和1只白球。每次从袋中 随机摸出1球，并换入黑球，这样反复进行。问 第k次摸球时摸到黑球的概率是多少？,解：,若以A表示第k次摸球摸到黑球这一事件,则 表示第k次摸球摸到白球这一事件,因袋中白球只有1只，而每次摸到白球总是换入 1只黑球。故为了在第k次摸到白球，则前面的 k-1次摸球一定不能摸到白球。因此,等价于这 一事件，在前面k-1次摸球时都摸到黑球，而第k 次摸出白球。,以 A、B、C 分别表示事件“取到的两只球都是白 球”、“取到的两只球都是红球”、“取到的两只球 中至少有一只白球”。,则,例6：P10例2 解（b）不放回抽样,课内练习题,1 .共有n张奖券，只有一张中奖.每人抽一张，求 第k个人中奖的概率p.(分放回和无放回),答:(放回),(无放回),3.某班42名学生分成3组，每组14人从中任意抽 出3名参加体能测试。求下列事件的概率。,抽到的学生来自(1)第一组(2)同一组(3)不同组,同一个随机试验。,4.某种产品共30件.正品23件,次品7件,从中取5件 求下列事件的概率 (1)同时任取5件中恰有2件次品 (2)每次取一件不放回前2件次品后3件正品 (3)每次取一件放回,恰有2件次品,不同的试验,5.总经理的五位秘书有两位精通英语，今遇其中 三位秘书,求下列事件的概率： (1)A:其中恰有一位精通英语 (2) B:其中恰有二位精通英语 (3)C其有人精通英语,二、几何概型,古典概型须假定试验结果是有限的，这限制了他的 适用范围。一个直接的推广是：保留等可能性允许 试验结果为无限个,称这种试验模型为几何概型。,例1某汽车站从上午7时起每隔15分钟来一趟车 一乘客在7点到7.30之间随机候车,求 (1)A：等候不到5分钟乘上车的概率 (2)B：等候时间超过10分钟才上车的概率,解：设T为该乘客到达的时间,例2一质点落在三角形内的各点处是等可能的，求 质点落在直线x=1/3左侧的概率,1,1,例3一半径为r 的钱币随机落在边长为L的正方形 桌面上。设事件A=“钱币不与桌面的边相交” 求P（A）,钱币的极限位置在L-2r处,例3（Buffon投针问题）,一组等距为D的平行线 将长为L（LD）的针 随机投向，求针与某条 直线相交的概率,第五节 条件概率,（一） 条件概率,在许多实际问题中，我们往往会遇到在事件A 已经发生的前提下，求事件B发生的概率。这时由 于有了附加条件，我们称这种概率为条件概率。,定义,在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概 率称为事件B在给定 A下的条件概率。简称为B对 A 的条件概率。,记为,相应地，,称为无条件概率。,一般来说，,例1：将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的 情况. 设事件A为“至少有一次为H”，事件B为“两 次掷出同一面”。现在求,解：,样本空间为 S=HH, HT, TH, TT,A=HH, HT, TH,B=HH, TT,易知此属古典概型问题。,已知事件A已发生, 有了这一信息, 知道“TT”不可能 发生。,即知试验所有可能结果所成的集合就是A。,A中共有3个元素，其中只有,于是, 在A发生的条件下B发生的概率为,显然，,问：,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是,例 2 设甲乙两城市全年下雨的比例;甲市为12， 乙市为9，甲、乙至少有一市下雨的比例 为16.8,求(1)甲下雨时乙也下雨的概率； (2)乙不下雨甲也不下雨的概率；,解：,设A，B分别表示甲乙下雨的事件，,（二）乘法定理,乘法定理,此结果可推广到多个事件的积事件的情况。如,设A, B, C为三个事件，且P(AB) 0，则有,例1 口袋里有8个白球，5个红球，无放回抽取二次,每次1球。求下列各事件的概率；,(1)第二次才取得红球；(2)二次内取得红球；,解：,试验 ：“每次取1个球，取后不放回，共取2个”,（互不相容）,或,例2：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而 他随意地拔号. 求(1)他拔号不超过三次而接通所需电 话的概率. (2)若已知最后一个数字是奇数，那么此概 率是多少？,解：,(1)拔号不超过三次而接通的概率为,例2：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而 他随意地拔号. 求他拔号不超过三次而接通所需电 话的概率. 若已知最后一个数字是奇数，那么此概 率是多少？,解：,(2)若已知最后一个数字是奇数，则拔号不超过 三次而接通的概率为,例3： 10张考签中有4张难签，2人参加抽签考试。不 重复地抽取，每人一次，甲先，乙后。证明两人抽到 难签的概率相等。,证明：,设A，B分别表示甲，乙抽到难签,（三）全概率公式和贝叶斯公式,定义：,设S为试验E的样本空间，,为E,的一组事件，若,则称,为样本空间S的一个划分。,若,为样本空间S的一个划分，,那么，对每次试验，,事件,中必有一个,且仅有一个发生。,例如，设试验E为“掷一棵骰子观察其点数”。,它的样本空间为S=1,2,3,4,5,6.,E的一组事件B1=1,2,3, B2=4,5, B3=6是S的 一个划分。,而事件组C1=1,2,3, C2=3,4, C3=5,6不是S的划分。,定理：,设试验E的样本空间为S，,A为E的事件，,为S的一个划分，,则,上式称为全概率公式。,(引起A发生有诸多因素，A可被这些因素分解),证明：,得到,证毕,由此可得另一个重要的公式。,定理：,设试验E的样本空间为S，,A为E的事件，,为S的一个划分，,则,上式称为贝叶斯(Bayes)公式。,(引起A发生有诸多因素,现A发生了,求是那种因素 的概率),例1： 有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑 球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取 一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到 白球的概率。,解：,设A表示“从甲袋中取出一个白球”，,B表示“从乙袋中取出一个白球”，,所以所求概率为,例2：发报台分别以概率0.6和0.4发出信号 及 。 由于通信系统受到干扰，当发出信号 时，收报台 分别以概率0.8及0.2受到信号 及 。又当发出信 号 , 收报台分别以概率0.9及0.1受到信号 及 。 求当收报台受到 时，发报台确系发出信号 的概 率。,解：,设A表示“发报台发出信号 ”，,B表示“收报台收到信号 ”，,则所求的概率为,例3：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好 时，产品的合格率为98%，而机器发生故障时，其合 格率为55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的 概率为95%。试求已知某日早上第一件产品是合格品 时，机器调整得良好的概率是多少？,解：,设A表示事件“产品合格”，,B表示事件“机器调整良好”。,则所求的概率为,这就是说，当生产出第一件产品是合 格品时，此时机器调整良好的概率为0.97。 这里，概率 0.95是由以往的数据分析得到 的，叫做先验概率。而在得到信息（即生 产出的第一件产品是合格品）之后再重新 加以修正的概率（即0.97）叫做后验概率。 有了后验概率我们就能对机器的情况有进 一步的了解。,例4：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验 具有如下的效果：若以A表示事件 “试验反应为阳 性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有 现在对自然人群进 行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005， 即 试求,解：,由贝叶斯公式得,说明：,表示试验结果呈阳性的被检查者确实患有癌症 的可能性并不大。,我们还可计算得到：,表示试验结果呈阴性的被检查者未患癌症的可 能性极大。,第六节 独立性,我们知道，在一般情况下,但在某些情况下，它们是相等的。,例如：,一口袋中有8只红球和2只白球，从袋中连续地取两次球，每次取一只，然后放回。,若A = “第一次取到红球”，B = “第二次取 到红球”。则,这里，A的发生不影响B发生的