《傅里叶变换》PPT课件.ppt

第七章 Fourier变换,Fourier变换是一种对连续时间函数的 积分变换,通过特定形式的积分建立函数之 间的对应关系. 它既能简化计算(如解微分 方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物 理意义(从频谱的角度来描述函数的特征), 因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速 Fourier变换在计算机时代更是特别重要,1 Fourier变换的定义,2 Fourier变换的性质,7.1 Fourier变换的概念与性质,3 d函数的Fourier变换,7.1.1 Fourier变换的定义,Fourier积分定理 设f (x)在 满足下列,条件:,(1) f (x)在任何有限区间上满足展开为Fourier,级数的条件, 即只存在有限个第一类间断点和有限,个极值点；,(2) f (x)在 上绝对可积, 即,收敛.,则在 f (x)的连续点处,而在 f (x)的间断点处,定义7.1 设,则,称式（1）为f (t)的Fourier变换，记为,（1）,（2）,式（2）称为F(w)的Fourier逆变换, 记为,显然，如果f (t)满足Fourier积分定理条件, 那么在f (t),的连续点处成立Fourier变换的反演公式,F(w)称为f (t)的像函数.,f (t) 称为F(w)的像原函数.,例7.1 求,的Fourier变换.,根据Fourier变换的定义,解：,例7.2 求 的Fourier变换，,并证明,根据Fourier变换的定义,解：,因为f (t)在 上连续, 且只有一个极大值,点t=0, 而,存在, 所以根据Fourier变换的反演公式,于是,在无线电技术、声学、振动理论中, Fourier,变换和频谱概念有密切联系. 时间变量的函数 f (t),的Fourier变换F(w)称为 f (t)的频谱函数, 频谱函数,的模 称为振幅频谱(简称为频谱).,例7.3 求矩形脉冲函数(E0),的频谱.,由频谱函数的定义,解：,故频谱为,(如图所示),7.1.2 Fourier变换的性质,以下假定所讨论的函数满足Fourier积分定理,的条件.,(1) 线性性质,设a, b 是常数，,则,(2) 对称性质,证明 由Fourier逆变换有,所以,特别地, 若f (t)是偶函数, 则,例7.4 求 的频谱函数.,函数 的频谱函数为,当t =2时, 根据Fourier,变换的线性性质,由 知, 单位幅度 (即E=1) 的矩形脉冲,解：,其中 是宽度为2, 幅度为的 矩形脉冲函数,它是偶函数. 由Fourier变换的 ,宽度为2 幅度为p 的矩形脉冲函数,(3) 相似性质,(其中 为常数).,证明 由Fourier变换的定义,令 则 于是当a0时,当a0时,综上所证, 即得,(4) 翻转性质,由相似性质可直接得到,(5) 时移性质,(其中t0为常数).,证明： 由Fourier变换的定义,令 代入上式得,利用 和 , 易见,其中a, b为常数, 并且 事实上，,(6) 频移性质,(其中w0为常数).,证明： 由Fourier变换的定义,(7) 微分性质,上存在(n为正整数). 如果当 时,则,只证明n=1的情形, 类推可得高阶情形.,证明：,上面是关于时域的微分性质. 类似地也有关于,频域的微分性质:,上存在(n为正整数). 如果当 时,则,从而可知,例7.5 设 求,令 于是由 可知,所以,解：,(8) 积分性质,如果 则,证明 因为 并且,所以根据 可知,（9）卷积与卷积定理,卷积定义：,卷积的简单性质：,卷积定理,设,则,证明 由卷积和Fourier变换的定义, 可得,7.1.3 单位脉冲函数及其傅氏变换,在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.,在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则,当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.,如果我们形式地计算这个导数, 则得,这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数:,有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.,（在极限与积分可交换意义下）,工程上将d-函数称为单位脉冲函数。,可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度.,d-函数有性质：,可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。,d 函数的Fourier变换,因为d 函数是广义函数, 所以其Fourier变换不,是通常意义下的Fourier 变换. 根据Fourier 变换的,定义, 以及d 函数的性质, 可得,通常, 没有意义. 然而由,在广义函数意义下,d 函数Fourier变换的时移和频移性质,根据Fourier变换的定义以及d 函数的性质,即,证明：,例7.6 计算 和,根据d 函数Fourier变换的 , 可得,解：,例7.7 计算,利用 , 可得,解：,例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. 在广义意义下, 同样可以说,原象函数f(t) 和象函数F(w) 构成一个傅氏变换对.,在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件,7.2 Fourier变换的应用,前面已经通过一些例子介绍了Fourier 变换在,频谱分析中的应用. 下面再给出一个讨论在信息传,输中不失真问题的例子.,例7.8 任何信息的传输, 不论电话、电视或无,线电通信, 一个基本问题是要求不失真地传输信号,所谓信号不失真是指输出信号与输入信号相比, 只,是大小和出现时间不同，而没有波形上的变化.,设输入信号为f (t), 输出信号为g(t), 信号不失,真的条件就是,其中K为常数，t0是滞后时间. 从频率响应来看, 为,了使信号不失真. 应该对电路的传输函数H(w)提出,一定的条件.,传输函数 H(w),设F(w)和G(w)分别是输入信号f (t)和输出信号,g(t)的Fourier变换.,传输函数 H(w),由Fourier变换的 可得,这说明, 如果要求信号通过线性电路时不产生任何失,真, 在信号的全部通频带内电路的频率响应必须具有,故要求传输函数,恒定的幅度特性和线性的位相特性.,本章主要内容,线性性质 对称性质 相似性质 翻转性质 时移性质 频移性质 时域微分 频域微分 积分性质 卷积性质,Fourier变换,本章的重点,1. Fourier 变换的定义及其性质,第七章 完,Peter Gustav Lejeune-Dirichlet,(1805.2.13 -1859.5.5),德国数学家. 柏林大学的教授,创始人之一, 先后给出了n=5和n=14时, Fermat方,1855年Guass去世后, 哥廷根大学,聘任他接任Guass的位置. Dirichlet是解析数论的,程无整数解的证明. 他在分析学和数学物理方面也,有很多重大贡献. 1829年得到给定函数的Fourier,级数收敛的充分条件, 1837年证明了绝对收敛级数,Jean le Rond DAlembert,(1717