管经4-1向量组、线性组合.ppt

第四章 向量组的线性相关性,问题的提出：,用矩阵表达或研究线性方程组？,用矩阵表达或研究线性变换？,何时有解？有多少个解？如何求解？,用矩阵的秩，矩阵的初等变换！,从 x1, x2 , xn 到 y1, y2 , yn 的线性变换,何时可逆？如何求逆变换？,用矩阵的秩，矩阵的初等变换！,问题一：,因为矩阵的初等变换本质上是其行或列元素,与矩阵的结构有关！,与矩阵中各行或列元素 之间关系有关！,矩阵的秩与什么有关？,问题二：,与矩阵中各行或列元素之间什么关系有关！,与矩阵中各行或列之间的线性关系有关！,之间的线性运算！,矩阵的初等变换本质上是其行或列,矩阵的行或列本质上是一个,k元有序数组，,即一个k维向量！,矩阵的所有行或列本质上是一个,k维向量组！,用另外行或列线性表示！,矩阵中各行或列之间的线性关系,就是矩阵这个向量组的线性关系,向量组的线性相关性！,本章的基本内容,向量,向量用向量组线性表示,向量组,向量组用向量组线性表示,向量组与向量组等价,（概念、条件、方法）,（概念、条件、结论）,向量组与向量组之间关系,向量组线性相关、线性无关,向量组的极大无关组，向量组的秩,（概念、条件、方法）,（概念、方法、结论）,向量组内部向量的关系,向量组与矩阵，,向量组与方程组,解决线性方程组解的结构性质,向量空间（概念）,（概念、条件、方法）,n 维向量, 简称向量。,1 向量组及其线性组合,一、n 维向量的概念,定义1(P. 81),行向量,实数,第 i 个分量,列 向 量,实向量,矩 阵 ？,复向量？,从矩阵角度,同一个n元有序数组构成的行向量与列向量是不同的向量！,不同向量之间的关系，同于相应矩阵之间的关系！,n个有次序的,O = ( 0,0,0 )，,零向量,负向量,设向量,1.加法(减法):,2.数乘:,线性运算满足运算规律同于矩阵,同于矩阵的相应运算,有关运算,线性运算,是三维空间向量线性运算的推广。,同于三维向量。,n 维向量空间,中n 1 维超平面,三维向量空间,中的平面,向量的几何形象：点 点集合 点空间,（在相应坐标系中）,一个三元有序数组,一些三元有序数组构成的集合,一个n元有序数组,一些n元有序数组构成的集合,二、向量组及其线性组合,1、向量组由若干个同维数的列(行)向量构成的集合（p82）,n 个m 维列向量,m 个 n 维行向量,A 的 列 向 量 组,A的行向量组,维数是kk维向量组,m 个 n 维列向量的向量组,构成一个n行m列的矩阵,m 个 n 维行向量的向量组,构成一个m行n列的矩阵,含有限个同维数向量的有序向量组与矩阵一一对应,是用矩阵研究向量组的基础！,第i 个坐标是1其余均为零,单位坐标 向量组,对应单位阵,(I),非齐次线性方程组,未知数 的系数,是m维的列向量,n个m维的列向量组成,是系数矩阵的第i列,是系数矩阵的列向量组,是增广矩阵的常数列,第i个方程的系数和常数项构成增广矩阵的第i行,是增广矩阵的行向量组,m个n+1维的行向量组成,为向量组A的 一个线性组合。,一个线性组合。,线性表示(出)。,线性方程组 的全体解,含有无限多个n维列向量的组,2、向量组的线性组合与向量用向量组线性表示,称式子,（p82定义2 ）向量由向量组线性表示,当 时，,（还是个向量！）,一组组合系数.,易见：,求出方程组的一个解,作为组合系数 就可得 b 的一个线性表示 ；,又易见：,线性表示的组合系数,所以,写出方程组,(I),方程组有唯一解,=A中向量的个数，,b用向量组A线性表示形式唯一；,方程组有无穷多解,A中向量的个数，,b用向量组A线性表示形式有无穷多种。,当然，已知b的一个线性表示式,就得方程组（1）的一个解,例1(p84)已知,证明,令,思路,解,记,所以 R(A)=R(B)=2,无穷多种表示式,再解,同解方程组为,令,得方程组的通解为,n维单位向量组,任一 n 维向量均可由n 维单位向量组线性表示,如：,因为,零向量可由任意一个向量组线性表示！,特殊的 也是重要的,一定是同维数的行（列）向量（组）,向量组的线性组合?,还是向量！,向量用向量组的线性表示?,定义？,条件？,小结向量用向量组线性表示,这个条件非常重要,表示法？,必有向量组B可由向量组C线性表示,若向量组B中每个向量都能由向量组A线性表示,则称,( p83定义3 ）向量组由向量组线性表示,向量组B可由向量组A线性表示。,向量组B一定可由向量组B本身线性表示!?,向量组由向量组线性表示的性质:,自反性,向量组B由向量组A线性表示,向量组A由向量组C线性表示,若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称向量组A与向量组B 等价。,3、向量组（中的向量）用向量组线性表示,传递性,对称性？,不一定成立！,看表示的形式！,向量组线性表示的系数矩阵！,向量组B可由向量组A线性表示的条件？,记,B 可由 A 线性表示, 对每个 bj ,(m个数),方程组 Ax=bj有解,矩阵方程AX=B有解,K,组B由组A线性表示的系数矩阵,列向量组用列向量组线性表示，系数矩阵在右边,行数=表示组向量个数,列数=被表示组向量个数,组B由组A线性表示的系数矩阵,即矩阵方程AX=B有解,K,列向量组 B由列向量组 A线性表示，,其充分必要条件是什么？,( p84定理2 ）向量组由向量组线性表示的充要条件,由p77定理6,若A与B为行向量组，即,则 B由 A线性表示, 对每个,K,行向量组用行向量组线性表示，系数矩阵在左边,组B由组A线性表示的系数矩阵,（行数=被表示组向量个数，,列数=表示组向量个数）,即矩阵方程XA=B有解,行向量组 B由行向量组 A线性表示,定理2适用！,( p84定理2 ）向量组由向量组线性表示的充要条件,表示组矩阵的秩 = 大矩阵的秩,例3(p86),能由A线性表示,证明,证,又显然,都成立！,存在K，使E=AK,所以,能由A线性表示,向量组A用单位向量组表示是无条件的！,n ？ m,条件是好用的的！,由第三章TH7,证明一,证明二,( p85定理 ）向量组由向量组线性表示的必要条件,被表示组矩阵的秩不超过表示组矩阵的秩,可以作为定理2的推论,若,一方面有,C 的列向量组可由（左阵）A的 列向量组线性表示，系数矩阵就是B,另一方面也有,行的列阵,C 的行向量组可由（右阵）B的 行向量组线性表示，系数矩阵就是A,列组表示系数矩阵在右 行组表示系数矩阵在左,列的行阵,用向量组表示解释矩阵乘法,B是矩阵方程 AX=C 的解,A是矩阵方程 YB=C 的解,能互相线性表示，则称向量组A与向量组B等价.,等价的充要条件（p84定理 2推论）,4、向量组与向量组等价,定义（p83),向量组的等价关系具有: 自反性、对称性、传递性！,则向量组E与向量组A等价,向量组A与向量组B等价,反之不一定！,？,等价的必要条件,例2(p86),设,证明,证,所以,即B的行的向量组可由A的行的向量组线性表示，,所以，A的行的向量组可由B的行的向量组线性表示。,重要,但AB 不能保证A与B的行向量组或列向量组等价,向量组的等价与矩阵的等价,同理，A B A的列组与B的列组等价.,B与PA的列向量组等价，,B与AQ的行向量组等价,反之不一定！,若组A组B,矩阵,一般不成立！,A,B不一定同型！,同型,组A可用组B表示,组B可用组A表示,反之,含向量个数相等的同维数的向量组等价时矩阵等价！,m=l 情况下,A与B列满秩,可逆！,方程组A 方程组B,线性方程组的等价,设有方程组,的每个方程都是方程组,A的线性组合，即B 由A中方程经线性运算得到，,则称方程组,若方程组A和方程组B能互相线性表示，则称 方程组A与方程组B等价.,B的方程是方程组A的线性组合,B的增广 矩阵的行向 量 组 可由A的增广矩阵的行向量组线性表示.,故,对齐次线性方程组有同样结论,这时，方程组A的解也是方程组B的解,方程组A的线性组合？,由A中方程经线性运算得到的方程！,若有方程组,（用矩阵解决方程组的深层依据）,B能由方程组A线性表示.,这时，组A与组B同解,方程组A 方程组B,线性方程组的等价,设有方程组,组B的每个方程都是方程组A的线性组合！,（即B 中方程皆由A中方程经线性运算得到）,方程组A和方程组B能互相线性表示！,B的方程是方程组A的线性组合,B的增广 矩阵的行向 量 组 可由A的增广矩阵的行向量组线性表示.,故,对齐次线性方程组有同样结论,这时，组A的解也是组B的解,方程组A的线性组合：,由A中方程经线性运算得到的方程！,（用矩阵解决方程组的深层依据）,方程组B能由方程组A线性表示：,方程组B与方程组A等价（互推）：,向量组,矩阵,线性方程组,行向量组为 行构成矩阵,列向量组为 列构成矩阵,矩阵的一行（列）元素 构成一个行（列）向量,矩阵的全部行（列）向量 构成行（列）向量组,一个方程的系数及常数项构成行向量,一个未知数的系数 及常数构成列向量,系数矩阵、增广矩阵 对应行（列）向量组,向量组A与B等价,方程组等价（同解）,向量组线性组合