《向量组线性相关性》PPT课件.ppt

线性表示的定义回顾,4.2 向量组的线性相关性,线性相关的定义1,定义1 设有m个n维向量1， 2 ， ， m，如果存在一组 不全为零的数 使,则称向量组1 ， 2 ， ， m线性相关； 否则，称向量组线性无关,线性相关两种定义的等价性 向量组a1，a2， ，am线性相关 的充要条件是： 向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。,必要性：因为a1，a2， ，am线性相关，故存在不全 为零的数l1，l2， ， lm，使 l1a1l2a2 lmamo 。 不妨设l10，于是,即a1为a2，a3， ，am的线性组合。,充分性：不妨设a1可由其余向量线性表示： a1=l2a2l3a3 lmam， 则存在不全为零的数1，l2，l3， ， lm，使 (1)a1+l2a2l3a3 lmam=o ， 即a1，a2， ，am线性相关。,证明：,1. 含有零向量的向量组一定线性相关。,2.由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量。,3.由两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量 对应成比例。,4. n 维基本单位向量e1，e2，en是线性无关的。,5. 几何意义,定义1 设有m个n维向量1， 2 ， ， m，如果存在一组 不全为零的数 使,则称向量组1 ， 2 ， ， m线性相关； 否则，称向量组线性无关,思考题：给出线性无关的直接定义,证明向量组 线性无关.,证,(1)式成为,(2),(2)式左乘,同理推出,例3,例2,设向量 可由线性无关的向量组,线性表示,证明表法是唯一的.(p99定理3.2.2),证 设有两种表示方法,由 线性无关,所以方程组有非零解。,得方程组,由于,解:设,使,所以 线性相关。,例1 讨论向量组的线性相关性,即存在一组不全为零0的数,易见 向量组a1，a2， ，am线性相关的充分必要条件是： 以x1，x2，xm为未知量的齐次线性方程组 x1a1 x2a2 xm am o 有非零解。,而上述方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量 的个数m，即,由此即得：,存在不全为零的数 使,(按定义),(转化为方程组),齐次方程组,(用矩阵的秩),把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。,证明向量组线性相关性的基本方法,（向量方程）,思考题：如向量个数=向量维数，向量组线性相关 及线性无关的条件是什么？,答案：线性相关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值为0；,线性无关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值不为0。,1=（3，2，0），2=（5，4，-1）3=（3，1，t）,解 由于,当 2t-30，即t3/2时，1，2，3 线性无关,当 2 t-3 = 0，即t=3/2时，1，2，3 线性相关,例2、已知,讨论向量组a1，a2，a3及向量组a1，a2的线性相关性,解：,A=（a1，a2，a3）=,R（A）=23， a1，a2，a3线性相关。,R（ a1，a2 ）=2， 向量组a1，a2的线性无关。,另解：,例4设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。 试证向量组b1，b2，b3也线性无关。,证明：（一）考虑 x1b1 x2b2x3 b3 o，,从而b1，b2，b3线性无关。,方程组只有零解，,即 x1(a1a2) x2(a2a3)x3 (a3a1)o，,整理得 (x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=o。,因为向量组a1，a2，a3线性无关，所以必有,例4设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。 试证向量组b1，b2，b3也线性无关。,证明： （三）,从而R（B）=R（A），,而向量组a1，a2，a3线性无关，,所以R（A）=3,R（B）=3可知向量组b1，b2，b3也线性无关。,例4设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。 试证向量组b1，b2，b3也线性无关。,证明：（二）,只有,即只有,所以向量组b1，b2，b3也线性无关。,例4设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。 试证向量组b1，b2，b3也线性无关。,证明： （四）,从而，,即向量组a1，a2，a3与向量组b1，b2，b3等价。,从而R（B）=R（A）=3，,所以向量组b1，b2，b3也线性无关。,(参见P.99101),(1) “部分相关,则整体相关.等价地”,观察知 相关, 从而 相关.,相关.,书P.98例2,(2) “个数大于维数必相关”,A 的列组是 4 个 3 维向量, 必相关.,P.101推论1,如：,(3) “短的无关, 则长的也无关.等价地 ”,是无关的.,也是无关的.,P.101推论3,再如：,(4)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）,P.101推论2,由它构成的n阶矩阵的行列式,t 取何值时,下列向量组线性相关 ?,解,记,当 t = 5 时, 上面向量组线性相关.,例4,则 可由 A 唯一表示.,这由,有唯一解.,为以后引用方便, 给它起个名子叫唯一表示定理.,P.99 定理3.2.2,写成矩阵乘积:,从而,(6) 向量 组 B 可由向量组 A 表示, 则,(后者的 A, B是矩阵),存在矩阵 C 使得 B = AC,为以后引用方便, 给它起个名子叫表示不等式.,也体现在P.108 性质3,(7) 如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示, 则必相关（Steinitz定理）.,表示, 又 mn, 由表示不等式,从而 B 必相关.,P.107 引理1,练习题,一填空题在一向量组， ，n中，如果有 部分向量组线性相关，则向量组必（ ）,二、多选题：下列命题中正确的有（ ） 非零向量组成的向量组一定线性无关 含零向量的向量组一定线性相关 由一个零向量组成的向量组一定线性无关 由零向量组成的