《多元函数的微积分》PPT课件.ppt

多 元 函 数 微 积 分,空间解析几何简介,二元函数的概念,偏导数和全微分,第五章,多元复合函数与隐函数的微分法,多元函数的极值,二重积分,空间解析几何简介,二元函数的概念,平面直角坐标系,o,平面内任取一点O原点,过O点另作一垂线y轴（纵轴）,过O点做一直线x轴（横轴）,两坐标轴分平面为、 象限,实数对（x，y）对应平面内的点P，记作P（x，y），分别 称数x为点P的横坐标，数y为点P的纵坐标。,平面内的点与实数对一一对应,空间解析几何简介,空间直角坐标系（三维直角坐标系）,右 手 原 则,平面,平面,平面,三个坐标平面分空间为八个卦限 （演示）,三个坐标平面,八个卦限,点的坐标（演示）,两点间的距离,点 M到原点的距离,空间曲面,三元方程,如果曲面 S 上任意一点的坐标 都满足方程 F( x ,y ,z)=0，同时 不满足方程 F( x ,y ,z)=0的点都 不在曲面 S 上，则称三元方程 F (x ,y ,z)=0 为曲面 S 的方程。,平面,平面一种特殊曲面,平面方程的一般形式：,几种特殊平面,平面：,平面：,平面：,（三元一次方程）,平行于 z 轴的平面：,过 z 轴的平面：,过原点的平面：,平行于 y 轴的平面：,过 y 轴的平面：,平行于 x 轴的平面：,过 x 轴的平面：,柱面,平面内一直线L沿着一定曲线C移动而形成的曲面叫做柱面， 其中，直线L叫做母线，曲线C叫做准线。,如：平行于 Z 轴的直线沿着XOY平面内的椭圆 移动，而形成的曲面叫做椭圆柱面。,其它柱面（几何演示）,柱面方程的特点：如果方程中不含 变量 Z（ X 或 Y )，则母线平行于 Z ( X 或 Y )轴，柱面垂直于 XOY ( YOZ 或 XOZ )面 。,其方程为,如,空间曲线的一般方程,两个曲面的交线即为曲线，故空间 曲线的一般方程为,二次曲面及截痕法,椭球面（几何演示）,抛物面（几何演示）,双曲面（几何演示）,曲面在坐标平面内的投影,例 求上半球面 与上半锥面 所围成的立体在 xoy 面内的投影区域。,解 两立体的交线为,即,交线在xoy面内的投影为,所以，所围成的立体在xoy面内的投影区域为,二元函数的概念,几个概念：邻域、内点、边界点、边界。,邻域：平面点集 称为点P0 (x0 , y0) 的邻域，记做 U(P0 ，)。,内点：设点P是平面点集E上的点，如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P) E,则称P为E的内点。,边界点：设有平面点集E，如果点P的任意邻域U(P)，都有属于 E中的点，也有不属于E的点，则称P为E的边界点。,边界：点集E的边界点构成的集合，称为点集E的边界。,E,开集：如果点集E中的点都是内点，则称点集E为开集。,连通集：如果点集E中的任意两点， 都可以用完全属于E中的折 线段将它们连接起来，则 称E为连通集。,区域：连通的开集称为开区域，简称区域。,闭区域：区域连同它的边界，称为闭区域。,二元函数的概念,几个概念：开集、连通集、区域、闭区域。,例如：点集 即为一开集。,例如：点集 即为区域。,例如：点集 即为闭区域。,连通,不连通,二元函数的概念,称实数集 为函数 f 的值域。,约定：函数 z=f (x , y) 的定义域约定为使得式子有意义的所有 的实数对（x , y）。,例如：函数 的定义域为,它表示如右图所示的无界区域。,二元函数的图像,空间点集 称为函数 的图像。,它表示空间曲面。,一元函数与二元函数的比较,定义域,数轴上的区间,平面中的区域,图像,平面中的曲线,空间中的曲面,极限,单极限,二重极限,微分学,导数与微分,偏导数与全微分,积分学,定积分,二重积分,二元函数的极限,定义：设二元函数 z=f (x , y)在点 P0(x0 ,y0)的邻域内有定义 （点P0可以除外），如果当点 P (x , y)无论以何种方式趋向于点 P0(x0,y0)时，函数值 f (x , y)可以无限逼近常数A，则称A为函数 f (x ,y) 在PP0时的极限，记作,或,或,二重极限,二元函数的极限计算计算下列极限,等价无穷 小的替换,计算下列极限,换元时 与 不能相互制约,因为二重极限值不受 动点趋向于定点的方式 的影响！,二元函数的极限计算,换元时 与 不能相互制约,事实上，设,则,结果与 有关，故原极限不存在。,若,若函数在某区域上点点连续，则称函数在该区域上连续。,直观上来看，若函数在区域 D 上连续，则其对应的 空间曲面没有裂缝，没有洞，是一个连续曲面。,初等二元函数在其定义区域上都是连续的。,上连续。,二元函数的连续性,闭区域上连续函数的性质,在闭区域