椭圆的简单几何性质(1).ppt

高中数学选修 2-1,第二章 曲线与方程,第二课时,2.2.2 椭圆的简单几何性质,1.对于椭圆的原始方程, 变形后得到 , 再变形为 . 这个方程的几何意义如何？,新知探究,O,x,y,F,椭圆上的点M(x，y)到焦点F(c，0)的 距离与它到直线 的距离之比等于离心率.,新知探究,若点F是定直线l外一定点，动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0e1)，则点M的轨迹是椭圆.,新知探究,动画,直线 叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的准线，相应于焦点F1(c，0)的准线方程是,新知探究,椭圆 的准线方程是,新知探究,椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是,新知探究,椭圆上一点M(x0,y0)到左焦点F1(-c，0) 和右焦点F2(c，0)的距离分别是,|MF1|aex0,|MF2|aex0,新知探究,N,椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径，上述结果就是椭圆的焦半径公式.,|MF1|aex0,|MF2|aex0,新知探究,椭圆 的焦半径公式是,|MF2|a-ey0,新知探究,|MF1|a+ey0,例1 若椭圆 上一点P到 椭圆左准线的距离为10，求点P到椭 圆右焦点的距离.,12,典型例题,例2 已知椭圆的两条准线方程为 y9，离心率为 ，求此椭圆的标准方程.,典型例题,例3 已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，点P为直线x3与椭圆的一个交点，若点P到椭圆两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆的方程.,典型例题,x3,例4 已知点M与点F(4，0)的距离和它 到直线l： 的距离之比等于 ， 求点M的轨迹方程.,典型例题,例5 设F1、F2是椭圆 的左、右焦点，点M在椭圆上，且F1MF2=60，求F1MF2的面积.,课堂小结,1.椭圆上的点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离之比等于椭圆的离心率，这是椭圆的一个重要性质，通常将它称为椭圆的第二定义.,课堂小结,2.一个椭圆有两条准线，并与两个焦点相对应，两条准线在椭圆外部，且与长轴垂直，关于短轴对称.,3.椭圆焦半径公式的两种形式与焦点位置有关，可以记忆为“左加右减，下加上减”.,课堂小结,高中数学选修 2-1,第二章 曲线与方程,第 四课时,2.2.2 椭圆的简单几何性质,1.对于椭圆,椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是,最大值为a，最小值为b.,新知探究,椭圆中的几个最值：,2.椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最 大值和最小值分别是什么？,新知探究,化为关于x的二次函数的最值问题.,|MF2|min=|A2F2| =a-c,|MF2|max=|A1F2| =a+c,3.点M在椭圆上运动，当点M在什么位置 时，F1MF2为最大？,点M为短轴的端点.,新知探究,此时F1MF2的面积最大,专题：求变量的取值范围或最值,思想方法：,1.函数法：,2.不等式法：,3.几何法：,化归为求函数值域或最值,建立变量不等式并求解,从几何图形中确定临界值,例1 设F1、F2为椭圆 的两焦点，若椭圆上存在点P，使 F1PF260，求椭圆离心率的取 值范围.,构造不等式法,B,练习：已知F1 、F2椭圆的左右焦点，椭 圆上存在点M使得MF1MF2, 求椭圆的 离心率的范围.,F1,O,F2,x,y,M,B,例2 设椭圆 的半 焦距为c，求 的取值范围.,构造不等式法,例3 已知椭圆 的两个焦点 为F1、F2，点P是椭圆上任意一点，求 |PF1|2|PF2|2的最大值和最小值.,最大值为14.,最小值为8.,构造函数法：,例5.已知F1、F2是椭圆的左右焦点， 若其右准线存在一点P使PF1的中垂线 恰过点F2, 求椭圆的离心率的取值范围.,几何法,例7 已知椭圆 和直线l： 4x5y400，试推断椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？,第二课时,直线与椭圆的位置关系,弦长的求法：,（1）联立方程组：,（2）消去一个未知数;,（3）利用弦长公式:,特别地：过左焦点F的弦长：,再结合韦达定理求解,弦长的求法：,例1：已知直线 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。,解：联立方程组,消去y,所以方程（）有两个实数根，,那么，相交所得的弦的弦长是多少？,弦长公式：,则原方程组有两组解, 即直线与椭圆相交,由韦达定理,新课讲解,（）,1、求椭圆 被过右焦点且垂 直于x轴的直线所截得的弦长。,课堂练习,通 径,相 交,例题讲解,A,（x2 , y2）,M,（x1 , y1）,B,例题讲解,解:依题意,所求直线斜率存在,设它的方程为y-1=k(x-2),把它代入椭圆方程并整理得:,设直线与椭圆的交点为:A (x1 , y1)、B (x2 , y2),于是,又M为AB的中点,A,（x2 , y2）,M,x,y,o,（x1 , y1）,B,故所求直线的方程为x+2y-4=0,例题讲解,弦中点、弦斜率问题的两种处理方法：,（2）点差法：设弦的两端点坐标，代入 曲线方程相减后分解因式，便可与 弦所在直线的斜率及弦的中点联系 起来。,（1）联立方程组，消去一个未知数，利 用韦达定理解决；,例3、椭圆 被斜率 为k(k0)的直线 截得的弦为AB, AB的中点为M,求M点的轨迹.,例题讲解,例4、中心在原点，一个焦点为F（0， ） 的椭圆被直线 y=3x-2所截得弦的中点 横坐标是 ，求椭圆方程。,例题讲解,A,B,（x2 , y2）,（x1 , y1）,1、如果椭圆被 的弦被（4，2）平分，那 么这弦所在直线方程为（ ） A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0 2、y=kx+1与椭圆 恰有公共点，则m的范围（ ） A、（0，1） B、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（1，+ ） 3、过椭圆 x2-2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线， 则弦长 |AB|= _ , 通径长是 _,D,C,课堂练习,3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。,1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；,2、弦长的计算方法： （1）垂径定理：|AB|= （只适用于圆） （2）弦长公式： |AB|= = （适用于任何二次曲线）,课堂小结,x,y,直线与椭圆的位置关系,O,点与椭圆的位置关系及判断,1.点在椭圆外,2.点在椭圆上,3.点在椭圆内,点P(x0,y0)与椭圆,复习巩固,怎么判断它们之间的位置关系？,问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？,dr,0,0,=0,几何法：,代数法：,复习巩固,d,d,d,d=r,dr,相 交,相 切,相 离,问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能 用几何法吗？,问题2：椭圆与直线的位置关系？,不能！,所以只能用代数法,因为他们不像圆一样有统一的半径。,新课讲解,相 交,相 切,相 离,例1：已知直线 与椭圆x2+4y2=2 ， 判断它们的位置关系。,解：联立方程组,消去y,所以方程（）有两个实数根，,则原方程组有两组解, 即直线与椭圆相交。,新课讲解,（）,小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法,判断方法,（1）联立椭圆与直线方程组成的方程组;,（2）消去一个未知数,得到一元二次方程,其判别式为;,（3）,新课讲解,相 交,相 切,相 离,EX： k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6相交? 相切? 相离?,例2、 已知椭圆 和直线l： 4x5y400，试推断椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？,方法一：切线法,方法二：三角换元法,m,m,例3：斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点F2，交椭圆于A，B两点，求弦AB 之长,法1：解方程组得A、B的坐标再求|AB|,法2：利用韦达定理与弦长公式求.,再求ABF1(F1是左焦点)面积.,法3：运用焦半径公式,设而不求,1、直线与圆相交的弦长,A（x1,y1）,直线与二次曲线相交弦长的求法,d,r,2、直线与其它二次曲线相交的弦长,（1）联立方程组;,（2）消去一个未知数;,（3）利用弦长公式:,|AB| =,其中k 表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的 端点坐标，一般由韦达定理求得 x1+ x2 与 y1+ y2,通法,B（x2,y2）,=,设而不求,新课讲解,方法1：求出A、B坐标，利用两点间距离公式；,方法2：,A（x1,y1）,B（x2,y2）,特别地：过左焦点F的弦长：,再结合韦达定理求解,新课讲解,1、求椭圆 被过右焦点且垂 直于x轴的直线所截得的弦长。,课堂练习,通 径,相 交,例题讲解,A,（x2 , y2）,M,（x1 , y1）,B,例题讲解,解:依题意,所求直线斜率存在,设它的方程为y-1=k(x-2),把它代入椭圆方程并整理得:,设直线与椭圆的交点为:A (x1 , y1)、B (x2 , y2),于是,又M为AB的中点,A,（x2 , y2）,M,x,y,o,（x1 , y1）,B,故所求直线的方程为x+2y-4=0,例题讲解,弦中点、弦斜率问题的两种处理方法：,（2）点差法：设弦的两端点坐标，代入 曲线方程相减后分解因式，便可与 弦所在直线的斜率及弦的中点联系 起来。,（1）联立方程组，消去一个未知数，利 用韦达定理解决；,例题讲解,变式 ：已知椭圆 斜率为1 的直线l交椭圆于A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程.,1、如果椭圆被 的弦被（4，2）平分，那 么这弦所在直线方程为（ ） A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0 2、y=kx+1与椭圆 恰有公共点，则m的范围（ ） A、（0，1） B、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（1，+ ） 3、过椭圆 x2-2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线， 则弦长 |AB|= _ , 通径长是 _,D,C,课堂练习,3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。,1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；,2、弦长的计算方法： （1）垂径定理：|AB|= （只适用于圆