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第三节 无穷小量与无穷大量,2.3.1 无穷小量,1.定义1 设 f (x)在某U(x0)内有定义. 若 则称 f (x)为当 xx0 时的无穷小量.,例如：,(2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量.,如sinx是x0时的无穷小量，但,注,(1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆;,(3)关于有界量.,2.无穷小量的运算性质,时, 有,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,其中 为,时的无穷小量 .,定理2.3.1. ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,2.3.2、 无穷大,定义2 . 若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,总存在,概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变化过程中的无穷大量.(非正常极限).,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,但,不是无穷大 !,例 . 证明,证: 任给正数 M ,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x , 有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,渐近线,说明:,无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,定理2.3.2 在自变量的同一变化过程中,2.3.3 无穷小量阶的比较,都是无穷小,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,定义2.3.3,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例1. 证明: 当,时,证:,命题2.3.2,证:,即,即,例如,故,命题2.3.3 设,且,存在 , 则,证:,例如,无穷小量的等价替换定理,求两个无穷小量比值的极限时，分子及分母都可用等价无穷小 量来代替 因此，如果用来代替的无穷小量选取得适当，则可使计 算简化,定理3.12的意义:,常用等价无穷小 :,无穷小量的等价替换定理的几何意义,解 当x0时 tan 2x2x sin 5x5x 所以,说明 只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小
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