固体物理习题解答

1 / 15 固体物理作业 作业 1 1.推算面心立方的原胞的体积. 解：面心立方的原胞如图 1 所示. 其基矢为 所取原胞的体积 2.什么是晶体？什么是非晶体？试各举一例说明. 答：晶体是原子、离子或分子按照一定的周期性，在结晶过程中，在空间排列形成具有一定规则的几何外 形的固体.如铁;非晶体是其中的原子不按照一定空间顺序排列的固体.如玻璃. 3.什么是原胞？什么是晶胞？ 答：原胞是具有 2 维、3 维或者其他维度平移对称性的简单点阵结构的最小重复单元.晶胞是为了反 映晶体的周期性和对称性而选取的重复单元. 4.什么是布拉维原胞？什么是 WS 原胞？ 答：布拉维原胞就是晶胞.WS 原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面， 这些平面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的 WS 原胞. 5.（1.3）二维布拉维点阵（晶格）只有 5 种，试列举并画图表示之. 答：布拉维晶格在二维平面上有五种类型，两晶轴 , ，夹角 ，如表 1 所示. 表 1 4 大晶系、5 种布拉维晶胞 序号 晶系 基矢长度与夹角关系 布拉维晶胞类型 1 斜方 、 简单斜方（图 2 中 1 所示） 2 正方 、 简单正方（图 2 中 2 所示） 3 六角 、 简单六角（图 2 中 3 所示） 4 长方 、 简单长方（图 2 中 4 所示） 有心长方（图 2 中 5 所示） 6.试计算面心立方和体心立方的堆垛因子（致密度）？ 2 / 15 解：设面心立方晶胞的边长为 ，则堆垛成面心立方晶胞的原子半径最大为 .由于面心立方体晶胞中有 个原子，所以面心立方的堆垛因子 . 设体心立方晶胞的边长为 ，则堆垛成面心立方晶胞的原子半径最大为 .由于体心立方体晶胞中有 个原子，所以面心立方的堆垛因子 7.绘出面心立方的晶胞和原胞示意图. 答：如图 3 所示. 3 / 15 作业 2 1.晶体中有哪些宏观对称元素？有哪些微观对称元素？ 答：晶体中宏观对称元素有：对称面（或镜面） 、对称中心（或反演中心） 、旋转轴和旋转反演轴；微观对 称元素有：平移轴、螺旋轴、滑移面. 2.为什么晶体没有 5 次对称轴，而准晶体有 5 次对 称轴？ 答：设在图 1 中，是晶体中某一晶面（纸面）上的一个 晶列，AB 是这晶列上相邻两个格点的距离. (1)旋转角 .通过A处的 轴顺时针方向 转过 后，使 点转到 ,若通过 处 轴逆时针方向转 过 角后， 点转到 .经过转动后，要使晶格能自身重合，则 、 点必须是格点.由于 和 平 行， 必须等于 的整数倍，即 ,于是 ; (2)旋转角 同理 ,有 , 于是 . 综上，旋转角改写为 .即晶体中只存在 1,2,3,4,6 次转轴. 另一方面因为晶体的旋转对称性要受到内部结构中点阵无限周期性的限制，有限外形的旋转不能破坏 点阵无限的周期排列，所以晶体没有 5 次对称轴.而准晶体是介于周期晶体和非晶玻璃之间的一种新的固态 物质形态,即准晶体有可以有 5 次对称轴. 3.(1.2)晶面指数为 的晶面 ABC 是离原点最近的晶面， 、 和 分别与基矢 ， 和 重合， 除 点外， 、 和 上是否有格点?若 ABC 面的指数为（234） ，情况又如何? 答：(1)晶面 ABC 在基矢 ， ， 的方向上的截距为 ， ， ， (2) 晶面 ABC 在基矢 ， ， 的方向上的截距为 ， ， 4.(1.4)在六方晶系中，晶面常用 4 个指数 来表示，如图所示，前 3 个指数表示晶面族中最近原点 的晶面在互成 的共平面轴 ， ， 上的截距 ， ， ，第 4 个指数表示该晶面的六重轴 上的截距为 .证明： 并将下列用 表示的晶面改用 表示： （0 0 1） ， （ 33） ， （1 0） ， （3 3） ， （100） ， （010） ， （ 3） 证：设晶面族 的面间距为 ，晶面法线方向的单位矢量为 .由晶面族 中最靠近原点的晶面在 ， ， 上的截距 ， ， ，有 又由 ,即 ,故 . 于是，用 表示的晶面改用 表示（0 01） （0001） ， （ 33） （ 3 3） ， （1 0） （1 00） ， （3 3） （3 3） ， （100） （10 0） ， （010） （01 0） ， （ 3） （ 33）. 5.(1.6)有一晶格， 每一格点上有一个原子， 基矢 （以 nm 为单位） 为 ， ， （ ）， 此处 ， ， 为笛卡尔坐标系中 ， ， 方向的单位矢量。问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子? （2）原胞的体积和晶格的体积各等于多少? 解： （1）由 ， ， ，其中 .知 、 、 构成一个边长为 3nm 的立方晶胞， 基矢 正处于此晶胞的体心上.故所述晶体属于体心立方布拉维格子. （2）晶胞的体积 4 / 15 原胞的体积 6.(1.7)六方晶胞的基矢为 ， ， 求其倒格子基矢. 解：由正格矢来构造倒格矢，即 式中， 为晶格原胞的体积 7.(1.8)若基矢 ， ， 构成正交晶系，求证：晶面族（ ）的面间距为 根据晶面指数的定义， 面族 （ ） 中距原点最近平面在三个晶轴 ， ， 上的截距分别为 ,该平面 （ABC） 法线方向的单位矢量是 . 这里 d 是原点到平面 ABC 的垂直距离，即面间距.由 得到 故 5 / 15 作业 3 1.(2.2)试证由两种离子组成、间距为 的一维晶格的马德隆常数 . 证：相距 的两个离子间的互作用势能可以表示为 (1) 晶体的总结合能为 (2) 设最近邻离子间的距离为 ，则 可表示为 晶体总的库仑吸引能为 (3) 马德隆常数 ， 对于一维晶格， 选取一个正离子作为参考离子， 在求和中对负离子取正号， 对正离子取负号，参考离子两边的离子是对称分布的，则有 时，由 两边积分，有 取 ，得 故由两种离子组成、间距为 的一维晶格的马德隆常数 . 2.(2.3)有一晶体，在平衡时体积为 ，原子间的总相互作用能为 ，如果原子间的互作用能为 试求晶体的平衡压缩系数 的表达式. 解：由 个原子组成的晶体总的结合能函数为 (1) 由于表面层原子的数目比晶体内部的原子数目少很多，所以可以认为所有的原子都是相同的，式(1)可以进 一步简化为 ， (2) 设最近邻原子间的距离为 ，则有 于是 (3) 其中 ， . 6 / 15 平衡时 ，则由已知条件 ，得 (4) 由平衡条件 (5) 由(4),(5)两式可解得 ， . 平衡状态时的晶体的体积弹性模量 即晶体的平衡压缩系数 3.(2.4)设两原子间的相互作用能为 ，当两原子构成一个稳定的分子时，其核间距离为 ，解离能为 ，求 和 . 解：当两原子构成一个稳定的分子时，势能 取极小值.即有 由此得平衡时两原子间的距离为 平衡时的势能 解离能为物体全部离解成单个原子时所需要的能量，其值等于 ，即 于是， 4.(2.5)设某晶体中每对原子的平均互作用能为 平衡时 ，每对原子的平均结合能 .试计算 和 以及晶体的体弹性模量 ， 设晶体为体心立方晶格. 解：当两原子构成一个稳定的分子时，势能 取极小值.即有 7 / 15 由此得平衡时两原子间的距离为 平衡时的势能 每对原子的平均结合能 ，其值等于 ，即 于是， 晶体的体弹性模量 晶体为体心立方晶格 ， 于是 5.(2.6)由 个原子所组成的晶体的体积 可以写成为 ，式中 是每个原子平均所占据的体 积， 为最近邻原子间的距离， 是依赖于晶体结构的常数.试求下列各种晶体结构的 值. (1)sc 结构(简立方)；(2)fcc 结构(面心立方)；(3)bcc 结构(体心立方)； 解：(1)sc 结构(简立方): , . (2)fcc 结构(面心立方)： ， . (3)bcc 结构(体心立方): ， . 6(2.8)两个相距为 的原子的相互作用能为 其中， , 为大于零的常数. (1) 证明原子间平衡距离为 ; (2) 证明平衡状态下吸引能是排斥能的 8 倍； (3) 如果两个原子被拉开，证明当 时他们将分离. 证：(1)平衡时，满足 原子间平衡距离为 . (2)吸引能： 吸引 ；吸引能： 排斥 . 平衡状态下, 吸引 排斥 . (3)原子间的相互作用力 8 / 15 令 ，则 极小值 故如果两个原子被拉开，当 时他们将分离. 7.证明一维单式格子的色散关系. 证：一维单式格子中第 个原子的运动方程可写为 (1) 对于上述方程有下列形式的解 (2) 这是一振幅为 ,角频率为 的简谐振动， 式中 是第 个原子振动的相位因子.当第 和第 个原子的相 位因子之差 （ 为整数） ，则 (3) 把(2)式代入(1)中，可得 即 则频谱 9 / 15 作业 4 1.(3.4)对一维双原子链，已知一种原子的质量 ，另一种原子的质量 ，力常 数 ，试求 (1)光学波的最高频率和最低频率 和 ； (2)声学波的最高频率 ； (3)相应的声子能量(以 为单位)； (4)在 可以激发频率为 ， 和 的声子的数目； (5)如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小. 解：声学支： ; 光学支： . (1) 对于光学支， ， , ， , (2) 对于声学支， ， , (3) 相应的声子能量 ; ; (4) 频率 的格波的平均声子数为 ,其中 , , , (5) 电磁波的波长 . 2.(3.6)在一维双原子链中，如 ，求证 证：声学支: 由 ，即 , . 同理有，光声学支: 10 / 15 , 3.(3.9)证明用德拜近似，高温时晶格比热的更精确表示为 证：比热 ,其中 , . 高温时, ，即 , 很小，于是 按 Maclaurin 公式展开 ， 取前三项有 ,于是 4.(3.12)设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势能为 为待定常数，平衡间距 ，求线膨胀系数 . 解：平衡时，有 线膨胀系数 , 其中 , . 即 11 / 15 作业 5 1.(4.3)如果已知空位形成能为 ， 试问当温度为 时在金里肖特基因缺陷数与格点数之比 是多少? 解： 2.(4.4)某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为 ，如果该 间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为 ，求该原子在 内跳跃的次数. 解：取室温 ， 3.(4.5)在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生.令 代表正、负离子空位的对数， 是产生一对缺陷所需要能量， 是原有的正、负离子对的数目. (1)试证明： ； (2)试求有肖特基缺陷后体积的变化 ，其中为 原有的体积. 证：(1)在晶体中形成 n 对正、负离子空位的可能情况为 与无空位相比， ，晶体熵的增量为 晶体自由能 利用平衡条件( ) (2) ， . 4.(4.6)已知扩散系数与温度之间的关系为： 下列数据时锌在铜晶体中扩散的实验结果： 878 1007 1176 1253 1322 试确定常数 和扩散激活能 . 解： . 线性拟合求出 ， . 5.(4.7)铜和硅的空位形成能 分别为 1.2 eV 和 2.8 eV，试求 时，铜和硅中的空位浓度. 解： 12 / 15 作业 6 1(5.1)已知银是单价金属， 费米面近似为球形， 银的密度 ， 原子量 ， 电阻率在 时为 ，在 时为 .(课本数据有误) 试计算 (1) 费米能和费米温度； (2) 费米球的半径； (3) 费米速度； (4) 费米球的最大横截面积； (5) 室温下和绝对零度附近电子的平均自由程. 解：电子数密度 . 费米波矢 (1) 费米能 费米温度 (2) 费米球的半径 (3) 费米速度 . (4) 费米球的最大横截面 (5) 平均自由时间 ，平均自由程 . 基本电荷 室温下 ， 绝对零度附近 ， 2(5.3)证明单位体积的固体内费米能级 处的状态密度可以写为 其中 是电子浓度. 证：在自由电子近似下， 空间的等能面是一个球面，则半径为 的球体内电子的状态数为 单位体积的固体内电子的状态数为 其状态密度 又 ，从而 . 3(5.8)铜中电子的弛豫时间为 ，试计算 时的热导率，如果在 时铜的电阻率为 13 / 15 ，铜的电子浓度为 ，试估计它在同一温度下的热导率. 解：铜在 时的热导率 铜在 时的热导率 4(5.9)已知钠是 bcc 结构，点阵常数 ，试用自由电子模型计算霍尔系数. 解：钠中电子浓度 霍尔系数 14 / 15 作业 7 1(6.1)一维周期场中电子的波函数 应满足布洛赫定理，若晶格常数为 ，电子的波函数为 (1) ； (2) . (3) ( 是某个确定的函数) 试求电子在这些状态的波矢. 解：一维布洛赫定理为 . (1) (2) (3) 2(6.2)设一维电子能带可以写成 其中 为晶格常数，试求 (1) 能带的宽度； (2) 电子的平均速度； (3) 能带底部和顶部的电子有效质量. 解：(1) 在第一布里渊区内的解 或 . 能带的宽度 ， (2) 电子的平均速度 (3) 能带底部的电子有效质量 顶部的电子有效质量 3 (6.3)电子在周期场中的势能 ，当 ， 当 其中 ，求此晶体第一及第二禁带宽度. 15 /