《节三重积分习题》PPT课件.ppt

1,第七章 重积分,7.4 重积分的应用,7.4.5 三重积分习题课,基本方法：化三重积分为三次积分计算。,关键步骤：,(1)坐标系的选取,(2)积分顺序的选定（直角）,(3)定出积分限,2,要结合被积函数、积分区域两方面的因素综合考虑才能找到好的方案。,对积分区域要有一定的空间想象力，最好能画出的图形。如 的图不好画，也要画出在某坐标面上的投影区域的图形。,3,1、利用直角坐标系计算三重积分。,(1)“投影法”又叫“先单后重法”,设往xoy平面上的投影区域为Dxy，过Dxy内任一点而穿过内部的平行于轴的直线与的边界曲面至多两个交点，则,适用性较广，要有一定的空间想象力。,对z积分后的结果F(x,y)作为被积函数在Dxy上作对x、y的二重积分。,4,这时再依被积函数和积分区域的特点选定积分顺序。,“先单”的“单”选哪一个变量？,往另两个坐标面上投影的情况与此类似。,依被积函数f (x,y,z)及积分区域共同确定。,5,设夹在平面z = c1和z = c2之间，竖坐标为z的平面(c1 z c2)截所得截面记为Dz，则有,通常选用此法时应满足：,Dz较简单：圆、椭圆、矩形、三角形等，容易算得其面积；,(2)“截面法”又称“先重后单法”、“切片法”。,6,2、柱面坐标系下计算三重积分,计算可分“两步走”，化为三次积分则应一次完成。,7,3、球面坐标系下计算三重积分。,有的三重积分可能有多种选择：不同的坐标系、不同的顺序积等。总结经验，选取简单的方法。,8,4、三重积分中的对称性的应用。,类似地：, 1是的z0的部分,(1)设关于平面xoy对称。,9,(2)设关于原点O对称， 1是的z0 (或x 0，或y 0) 的部分，则,10,(3)若关于变量x,y,z具有轮换对称性，,即若(a,b,c),则(b,c,a),(c,a,b)则有,11,使用对称性时应注意：,1、积分区域关于坐标面的对称性；,2、被积函数在积分区域上的关于三个自变量的奇偶性。,被积函数f(x,y,z)是关于z的奇函数，则三重积分为零.,若被积函数f(x,y,z)是关于z的偶函数，则三重积分为在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.,例如：当积分区域关于平面xoy对称。,12,解 关于直线 x = y = z 对称,对于x、y、z具有轮换对称性。,例1 利用对称性计算下列三重积分。,13,14,解,15,解,其中xy+yz是关于y的奇函数,且关于xoz面对称,16,又因为xz是关于x的奇函数,且关于yoz面对称,由对称性知,在柱面坐标下：,17,18,（利用球面坐标）,19,20,21,22,(2)由z =x2+y2，y =x2，y=1，z =0所围成的闭区域,23,解,选用柱面、球面坐标不容易化成三次积分。,因为双曲抛物面xy=z与平面z=0的交线为x轴,y轴，所以,24,Dxy：x2 y 1,1 x 1,(2) 由z =x2+y2，y =x2，y=1，z =0所围成的闭区域,25,26,27,28,旋转面方程为:,29,30,31,解,32,例8 证明曲面z =x2+y2+1上任一点的切平面与曲面z =x2+y2所围立体的体积为定值。,证明 设M0(x0,y0,z0)是曲面z =x2+y2+1上任意取 定的一点，,整理得,该曲面在M0点的法向量可取,切平面与曲面z =x2+y2的交线在xoy平面上的投影曲线方程为,切平面方程：,33,34,35,证