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数值分析上机实践报告班级：计算机1002姓名：陈斯琪学号：20102686 课题三A 实验题目：线性方程组的迭代法B 实验要求（1） 应用迭代法求解线性方程组，并与直接法作比较；（2） 分别对不同精度要求，如，利用所需迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；（3） 对方程组（2），（3）使用SOR方法时，选取松弛因子=0.8,0.9,1,1.1,1.2等，试观察对算法收敛性的影响，并找出你所选用松弛因子的最佳值；（4） 编制出各种迭代法的程序并给出计算结果。C 目的和意义（1） 通过上机了解迭代法求解线性方程组的特点；掌握求解线性方程组的各类迭代法；（2） 体会上机计算时，终止准则X(k+1)-Xk ，对控制迭代精度的有效性；（3） 体会初始值和松弛因子的选择，对迭代收敛速度的影响D 实验方程组（1）线性方程组=精确解.(2) 对称正定线性方程组精确解.（3）三对角线性方程组精确解.E 实验程序代码及截图（1） 应用Jacobi迭代法求解方程组代码如下：#include#include#define N 10 /十阶矩阵static double ANN=4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0,8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0,4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1,0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4,-4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3,8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5,0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1,16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2,4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4,0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1;/方程组左侧系数矩阵static double BN=5,12,3,2,3,46,13,38,19,-21; /右侧值static double YN; /输出比较项static double YN; static double XN; /输出项static double GN; /X = BX + G的G矩阵int i,j,k; /计数器double eps;int M=100;bool distance() /求两输出项的差的范数是否满足精度要求double temp=0;for (i=0;ieps) return false;elsereturn true; /满足精度要求则结束程序void main()cout最大迭代次数为100次endl;cout你希望的精度是多少？endl;couteps; /形成迭代矩阵B，存放到A中for (i=0;iN;i+)if (fabs(Aii)eps)cout 打印失败endl;return;double T=Aii;for (j=0;jN;j+)Aij=-Aij/T;Aii = 0;Gi=Bi/T;int counter=0;while (counterM)/迭代for (i=0;iN;i+)double temp=0;for (j=0;jN;j+)temp=temp+Aij*Yj;Xi=Gi+temp;if (distance()=true)break;else/交换X，Y向量；for(i=0;iN;i+)Yi=Xi;counter+;/打印Xcout 迭代次数为：counter次。该线性方程组的解（X1，X2，X3.X10）为：endl;coutX1=X1endl;coutX2=X2endl;coutX3=X3endl;coutX4=X4endl;coutX5=X5endl;coutX6=X6endl;coutX7=X7endl;coutX8=X8endl;coutX9=X9endl;coutX10=X10endl;截图如下：eps=0.001eps=0.0001eps=0.00001（2） 应用Gauss-Seidel求解线性方程组代码如下：#include#include#define N 10 /矩阵的维数，可按需更改static double A1010=4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0,8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0,4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1,0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4,-4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3,8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5,0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1,16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2,4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4,0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1;static double B10=5,12,3,2,3,46,13,38,19,-21; /右侧值static double YN; /输出比较项static double XN; /输出项static double GN; /X = BX + G的G矩阵int i,j,k; /计数器double eps;int M=100;bool distance() /求两输出项的差的范数是否满足精度要求double temp=0;for (i=0;ieps) return false;elsereturn true; /满足精度要求则结束程序void main() cout最大迭代次数为100次endl;cout你希望精度是多少？endl;couteps;/形成迭代矩阵B，存放到A中for (i=0;iN;i+)if (fabs(Aii)eps)cout 打印失败endl;return;double T=Aii;for (j=0;jN;j+)Aij=-Aij/T;Aii=0;Gi=Bi/T;int counter=0;while (counterM)/迭代for (i=0;iN;i+)double temp=0;for (j=0;jN;j+)temp=temp+Aij*Xj;Xi=Gi+temp;if (distance()=true)break;else/交换X，Y向量；for(i=0;iN;i+)Yi=Xi;counter+;/打印Xcout 迭代次数为：counter次。该线性方程组的解（X1，X2，X3.X10）为：endl;coutX1=X1endl;coutX2=X2endl;coutX3=X3endl;coutX4=X4endl;coutX5=X5endl;coutX6=X6endl;coutX7=X7endl;coutX8=X8endl;coutX9=X9endl;coutX10=X10endl;截图如下：eps=0.001eps=0.0001eps=0.00001（3） 对方程组（2）使用SOR方法，选取不同松弛因子代码如下：#include#include#define N 8 /矩阵的维数，可按需更改static double ANN=4,2,-4,0,2,4,0,0,2,2,-1,-2,1,3,2,0,-4,-1,14,1,-8,-3,5,6,0,-2,1,6,-1,-4,-3,3,2,1,-8,-1,22,4,-10,-3,4,3,-3,-4,4,11,1,-4,0,2,5,-3,-10,1,14,2,0,0,6,3,-3,-4,2,19;/方程组左侧系数矩阵static double BN=0,-6,6,23,11,-22,-15,45; /右侧值static double YN; /输出比较项static double XN; /输出项static double GN; /X = BX + G的G矩阵int i,j,k; /计数器double eps;int M=100;double w;bool distance() /求两输出项的差的范数是否满足精度要求double temp = 0;for (i = 0 ;i eps) return false;elsereturn true; /满足精度要求则结束程序void main() cout最大迭代次数为100次endl;cout你希望的精度是多少？endl;couteps;cout请选取松弛因子endl;coutw;/形成迭代矩阵B，存放到A中for (i = 0 ;i N;i+)if (fabs(Aii) eps)cout 打印失败endl;return;double T = Aii;for ( j = 0 ; j N;j+)Aij = -w * Aij/T;Aii = 1-w;Gi = w * Bi/T;int counter = 0;while (counter M)/迭代for (i = 0;i N; i+)double temp = 0;for (j = 0;jN; j+)temp = temp + Aij*Xj;Xi = Gi + temp;if (distance()=true) break;else/交换X，Y向量；for( i = 0; i N ;i+)Yi = Xi;counter+; /打印Xcout 迭代次数为：counter次。该线性方程组的解（X1，X2，X3.X8）为：endl;coutX1=X1endl;coutX2=X2endl;coutX3=X3endl;coutX4=X4endl;coutX5=X5endl;coutX6=X6endl;coutX7=X7endl;coutX8=X8endl;截图如下：eps=0.001 w=0.8 w=0.9 w=1 w=1.1 w=1.2eps=0.0001 w=0.8 w=0.9 w=1 w=1.1 w=1.2eps=0.00001 w=0.8 w=0.9 w=1 w=1.1 w=1.2（4） 对方程组（3）使用SOR方法，选取不同松弛因子代码如下：#include#include#define N 10 /矩阵的维数，可按需更改static double ANN=4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4;/方程组左侧系数矩阵static double BN=7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5; /右侧值static double YN; /输出比较项static double XN; /输出项static double GN; /X = BX + G的G矩阵int i,j,k; /计数器double eps;int M=100;double w;bool distance() /求两输出项的差的范数是否满足精度要求double temp = 0;for (i = 0 ;i eps) return false;elsereturn true; /满足精度要求则结束程序void main() cout最大迭代次数为100次endl;cout你希望的精度是多少？endl;couteps;cout请选取松弛因子endl;coutw;/形成迭代矩阵B，存放到A中for (i = 0 ;i N;i+)if (fabs(Aii) eps)cout 打印失败endl;return;double T = Aii;for ( j = 0 ; j N;j+)Aij = -w * Aij/T;Aii = 1-w;Gi = w * Bi/T;int counter = 0;while (counter M)/迭代for (i = 0;i N; i+)double temp = 0;for (j = 0;jN; j+)temp = temp + Aij*Xj;Xi = Gi + temp;if (distance()=true) break;else/交换X，Y向量；for( i = 0; i N ;i+)Yi = Xi;counter+; /打印Xcout 迭代次数为：counter次。该线性方程组的解（X1，X2，X3.X10）为：endl;coutX1=X1endl;coutX2=X2endl;coutX3=X3endl;coutX4=X4endl;coutX5=X5endl;coutX6=X6endl;coutX7=X7endl;coutX8=X8endl;coutX9=X9endl;coutX10=X10endl;截图如下：eps=0.001 w=0.8 w=0.9 w=1 w=1.1 w=1.2eps=0.0001 w=0.8 w=0.9 w=1 w=1.1 w=1.2eps=0.00001 w=0.8 w=0.9 w=1 w=1.1 w=1.2F 实验结果分析对于第一个实验，由于系数矩阵的谱半径大于1，所以当迭代进行到最大迭代次数100次时仍然不能得到与精确解近似的解，所以实验结果与精确解出入十分大。对于第二个实验，由于所用系数矩阵和第一个实验的系数矩阵是