《课件71向量坐标》PPT课件.ppt

,第七章,空间解析几何与向量代数,引 言,在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的,点与一对有序的数对应起来，把平面上的图形和,方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何,问题. 空间解析几何也是按照类似的方法建立起 来的.,空间解析几何作为学习多元函数微积分的,准备知识.,第一节 向量及其线性运算,第二节 数量积 向量积 混合积,第三节 曲面及其方程,第四节 空间曲线及其方程,第五节 平面及其方程,第六节 空间直线及其方程,内 容,第一节 向量及其线性运算,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小,记为,单位向量：,一、向量的概念,或,几何上：以 为起点 为终点的有向线段.,记为,任意方向,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,记作,向量平行：,两个方向相同或相反的非零向量.,记作,1. 加法：,（平行四边形法则）,（或三角形法则）,二、向量的线性运算,三角不等式,特殊地：若,分为同向和反向,同向,反向,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,首尾相接,连加,2. 减法,特别地,3.向量与数的乘法,（数乘）,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系：,必要性,证,充分性显然；,设 ,两式相减,得,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,单位化,例1 化简,解,例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,横轴,纵轴,竖轴,定点,正方向符合右手系, 构成空间直角坐标系.,三、空间直角坐标系,确定三个坐标轴：横轴,纵轴和竖轴，,面,面,面,空间直角坐标系有三个坐标面，将整个,空间分为八个部分，称为八个卦限.,分向量,坐标分解式,空间点,有序数,有序数组,特殊点的坐标表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,空间点,设,四、利用坐标作向量的线性运算,加（减）法：,数乘：,解 由向量的加法，有,因此,例3,解,例4 设,求向量,的横坐标和沿y轴上的分向量.,在y轴上的分向量为,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离,有,解,设P点坐标为,所求点为,因为P在x轴上，,例5,解,所求向量有两个,一个与 同向,一个反向,或,例6,两向量的夹角的概念：,它们的夹角可在0与 之间任意取值.,2.方向角与方向余弦,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，,规定:,非零向量 与三条坐标轴的正向的夹角,称为非零向量 的方向角：,方向余弦,方向余弦用来表示向量的方向.,单位 向量,特性,例7,解,已知两点,和,计算向量,的模 、方向余弦和方向角 .,方向余弦为,方向角为,轴的夹角分别为,解,例8 设有向量,，已知,，它与,轴和,和,，如果,的坐标为,，求,的坐标.,的坐标为,由前面得,投影轴,过点M 作与u 轴垂直的平面,点M在u轴上的投影.,此平面与,在 u 轴上的投影.,3. 向量在轴上的投影,u 轴的交点,而,即为,则称为向量OM,记为,称为 在三条坐标轴上的分向量.,轴上的投影,按照投影定义,向量,在直角坐标系,中的坐标,就是向量,在三条坐标,即,或记作,向量的投影具有与坐标具有相同的性质:,性质1,(即,性质2,即,两个向量的和在轴上的投影等于,两个向量在该轴上的投影之和.,性质3,即,例9,设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为,OA, 且,求,OA 在 OM 方向上的投影,注:,同方向,的轴上的投影.,解,如图所示,设,则,例9,设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为,OA, 且,求,OA 在 OM 方向上的投影,1.空间直角坐标系,2.空间两点间距离公式,（注意它与平面直角坐标系的区别）,（轴、面、卦限）,小 结,一、空间直角坐标系,1.向量的概念,2.向量的加减法,3.向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（平行四边形法则）,（注意数乘后的方向）,二、向量的概念及其线性运算,（三角形法则）,三、向量的坐标表示,则,向量的坐标,向量的模,单位向量,向量的投影,思考题,1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,思考题,2.已知平行四边形ABCD的对角线,试用 表示平行四边形四边上对应的向量.,思考题2解答,思考题,3.设,求以向量,为边的平行四边形的对角线,的长度.,思考题3解答,3.对角线的长为,平行四边形的对角线的长度各为,4.一向量的终点在点,它在,上的投影依次为,