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,（一）曲线积分与曲面积分,（二）各种积分之间的联系,一、本章主要内容,思 考 题,1) 二重积分是哪一类积分?,答: 第一类曲面积分的特例.,2) 设曲面,问下列等式是否成立?,不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关,曲面积分的计算法归纳,曲面积分,第一类( 对面积 ),第二类( 对坐标 ),二重积分,(1) 统一积分变量 代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类: 始终非负,第二类: 有向投影,(3) 确定二重积分域, 把曲面积分域投影到相关坐标面,曲面积分计算的基本技巧,(1) 利用对称性及重心公式简化计算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3) 两类曲面积分的转化,例1. P185 题4(3),其中 为半球面,的上侧.,且取下侧 ,提示: 以半球底面,原式 =,P185 题4(2) , P185 题 9 同样可利用高斯公式计算.,记半球域为 ,高斯公式有,计算,为辅助面,利用,例2.,证明: 设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,例3. 计算曲面积分,其中,解:,思考: 本题 改为椭球面,时, 应如何,计算 ?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式 .,例4. 设 是曲面,解: 取足够小的正数, 作曲面,取下侧,使其包在 内,为 xoy 平面上夹于,之间的部分, 且取下侧 ,取上侧, 计算,则,第二项添加辅助面, 再用高斯公式 计算, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,曲线积分,曲面积分,对面积的 曲面积分,对坐标的 曲面积分,对弧长的 曲线积分,对坐标的 曲线积分,定义,计算,定义,计算,曲线积分与曲面积分,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Guass公式,各种积分之间的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,3.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,曲面面积的计算法,曲顶柱体的表面积,如图曲顶柱体，,
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