物理竞赛光学经典练习题.doc

1、（28届复赛）如图所示，L是一焦距为2R的薄凸透镜，MN为其主光轴。在L的右侧与它共轴地放置两个半径皆为R的很薄的球面镜A和B。每个球面镜的凹面和凸面都是能反光的镜面。A、B顶点间的距离为。在B的顶点C处开有一个透光的小圆孔（圆心为C），圆孔的直径为h。现于凸透镜L左方距L为6R处放一与主轴垂直的高度也为h（hR）的细短杆PQ（P点在主轴上）。PQ发出的光经L后，其中一部分穿过B上的小圆孔正好成像在球面镜A的顶点D处，形成物PQ的像I。则1、 像I与透镜L的距离等于_。2、 形成像I的光线经A反射，直接通过小孔后经L所成的像I1与透镜L的距离等于_。3、 形成像I的光线经A反射，再经B反射，再经A反射，最后通过L成像I2，将I2的有关信息填在下表中：I2与L的距离I2在L左方还是右方I2的大小I2是正立还是倒立I2是实像还是虚像4、 物PQ发出的光经L后未进入B上的小圆孔C的那一部分最后通过L成像I3，将I3的有关信息填在下表中：I3与L的距离I3在L左方还是右方I3的大小I3是正立还是倒立I3是实像还是虚像答案与评分标准：本题20分1 3R (3分)2 6R (3分)3与L的距离在L左方还是右方的大小是正立还是倒立是实像还是虚像6R右方2倒立虚像第1第3空格各2分；其余3个空格全对3分，有一个错则不给这3分4与L的距离在L左方还是右方的大小是正立还是倒立是实像还是虚像18R左方2倒立实像第1第3空格各2分；其余3个空格全对3分，有一个错则不给这3分2、（27届预赛，重大出题）3、（26届复赛）内半径为R的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋转（水银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴z与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r与z轴垂直，则液面的方程为，式中为旋转角速度，g为重力加速度（当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反射式天文望远镜）。观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变，然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。参考解答：旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为(1)由(1)式，旋转抛物面方程可表示为(2)停转后液面水平静止由液体不可压缩性，知液面上升以下求抛物液面最低点上升的高度抛物液面最低点以上的水银，在半径、高的圆柱形中占据体积为的部分，即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体；其余体积为的部分无水银体在高度处的水平截面为圆环，利用抛物面方程，得处圆环面积(3)将体倒置，得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体，相应抛物面方程变为，(4)其高度处的水平截面为圆面，面积为(5)由此可知，(6)即停转后抛物液面最低点上升(7)因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球面镜的焦点，故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两像对眼睛所张的视角相同设眼长为凹面镜成像时，物距即所求距离，像距v与像长分别为，(8)(9)平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为，(10)像距与像长分别为，(11)(12)两像视角相同要求，(13)即，(14)此处利用了(8)(12)诸式由(14)式可解得所求距离(15)评分标准：本题20分. (1)式1分，(7)式4分，(8)、(9)式各2分，(10) 、(11)、 (12)式各1分，(13)式6分，(15)式2分4、（23届复赛）有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有：三个焦距分别为、和的透镜,，；观察屏P，它是一块带有刻度的玻璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的 图1分光元件（如图1所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S，缝平行于棱镜的底面当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。 已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm，称为D线）位于圆筒轴与观察屏相交处。制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D线的折射率1.5170;另一种为火石玻璃，它对钠D线的折射率=1.7200。 1.试在图2中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角的数值。 图2参考解答：1 圆筒内光学元件的相对位置如图1所示各元件的作用如下：L2L1L3狭缝SP圆筒轴图1狭缝S：光源的光由此进入分光镜，观察到的谱线就是狭缝的像透镜L1：与狭缝的距离为f1，使由狭缝射来的光束经L1后成为与圆筒轴平行的平行光束分光棱镜：使由L1射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射的平行光束透镜L2：使各种单色平行光束经L2 成像在它的焦平面上，形成狭缝的像（即光谱线）观察屏P：位于L2焦平面上，光源的谱线即在此屏上透镜L3：与P的距离f3，是人眼观察光谱线所用的放大镜（目镜）2已知钠黄光的谱线位于P的中央，S的像位于L2 的焦点上，由此可知，对分光棱镜系统来说，钠黄光的入射光束和出射光束都与轴平行，由于棱镜系统是左右对称，因此钠黄光在棱镜内的光路应该是左右对称的，在中间棱镜中的光路应该与轴平行，分光元件中的光路图如图2所示，左半部的光路如图3用i1、r1、i2、r2分别表示两次折射时的入射角和折射角，用n1、n2分别表示两块棱镜对D线的折射率，由图3可以看出，在两棱镜界面上发生折射时，表明，即中间的棱镜应用折射率较大的火石玻璃制成，两侧棱镜用冕牌玻璃制成，故有=1.5170，=1.7200图2r1i2r2i1n2n1图3由几何关系可得（1）（2）由折射定律可得 （3） （4）从以上各式中消去、和得（5）解（5）式得（6）以，代入，得（7）5、（27届复赛，重大出题）正午时太阳的入射光与水平面的夹角=450 有一座房子朝南的墙上有一个直径 W =10cm 的圆窗，窗口中心距地面的高度为 H 试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进人窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进人采光装置前 2 倍的平行光可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的反射率为 80 % ，透镜的透射率为 70 % ，忽略透镜表面对光的反射要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装置试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件.参考解答：方案一：采光装置由平面镜M和两个凸透镜L1、L2组成透镜组置于平面镜M后面，装置中各元件的相对方位及光路图如图1所示H南图1ML1、L2的直径分别用D1、D2表示，其焦距的大小分别为f1 、f2两透镜的距离 （1）直径与焦距应满足关系 （2）设射入透镜L1的光强为，透过透镜L1的光强为，考虑到透镜L1对光的吸收有 （3）从透镜L1透出的光通量等于进入L2的光通量，对应的光强与透镜的直径平方成反比，进入L2的光强用表示，即故有 （4）透过L2的光强，考虑到（3）式，得 （5）由于进入透镜L1的光强是平面镜M的反射光的光强，反射光是入射光的，设射入装置的太阳光光强为，则代入（5）式有 （6）按题设要求代入（6）式得从而可求得两透镜的焦距比为 （7）L2的直径应等于圆形窗户的直径W，即，由（2）式得 （8）由图可知，平面镜M参与有效反光的部分为一椭圆，其半短轴长度为 （9）半长轴长度为 （10）根据装置图的结构，可知透镜组的光轴离地应与平面镜M的中心等高，高度为评分标准：本题20分作图8分（含元件及其相对方位，光路），求得（7）、（8）两式共10分，（9）、（10）式共2分方案二：采光装置由平面镜M和两个凸透镜L1、L2组成，透镜组置于平面镜M前面，装置中各元件的相对方位及光路图如图2所示 H南图2MW对透镜的参数要求与方案一相同 但反射镜M的半短轴、半长轴的长度分别为 和 评分标准：参照方案一方案三、采光装置由平面镜M和一个凸透镜L1、一个凹透镜L2组成，透镜组置于平面镜M后面（也可在M前面），装置中各元件的相对方位及光路图如图3所示H南图3WM有关参数与方案一相同，但两透镜的距离 如果平面镜放在透镜组之前，平面镜的尺寸和方案一相同；如果平面镜放在透镜组之后，平面镜的尺寸和方案二相同评分标准：参照方案一6、（24届复赛）图1所示为杨氏双缝干涉实验的示意图，取纸面为yz平面。y、z轴的方向如图所示。线光源S通过z轴，双缝S1、S2对称分布在z轴两侧，它们以及屏P都垂直于纸面。双缝间的距离为d，光源S到双缝的距离为l，双缝到屏的距离为D，。图1 1.从z轴上的线光源S出发经S1、S2不同路径到P0点的光程差为零，相干的结果产生一亮纹，称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清晰度的影响，我们先研究位于轴外的线光源S形成的另一套干涉条纹，S位于垂直于z轴的方向上且与S平行，两者相距，则由线光源S出发分别经S1、S2产生的零级亮纹，与P0的距离2.当光源宽度为的扩展光源时，可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、非相干的线光源组成。这样，各线光源对应的干涉条纹将彼此错开，在屏上看到的将是这些干涉条纹的光强相加的结果，干涉条纹图像将趋于模糊，条纹的清晰度下降。假设扩展光源各处发出的光强相同、波长皆为。当增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨，则此时光源的宽度3.在天文观测中，可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径。遥远星体上每一点发出的光到达地球处都可视为平行光，从星体相对的两边缘点发来的两组平行光之间的夹角就是星体的角直径。遥远星体的角直径很小，为测量如些微小的角直径，迈克尔逊设计了测量干涉仪，其装置简化为图2所示。M1、M2、M3、M4是四个平面反射镜，它们两两平行，对称放置，与入射光（a、 a）方向成45角。S1和S2是一对小孔，它们之间的距离是d。M1和M2可以同步对称调节来改变其中心间的距离h。双孔屏到观察屏之间的距离是D。a、 a和b、 b分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。设光线a、 a垂直双孔屏和像屏，星光的波长是，试导出星体上角直径的计算式。注：将星体作圆形扩展光源处理时，研究扩展光源的线度对于干涉条纹图像清晰度的影响会遇到数学困难，为简化讨论，本题拟将扩展光源作宽度为的矩形光源处理。图2 参考解答：12附1、2两问的参考解法：1求经双缝产生的干涉图像的零级亮纹的位置设点的坐标为，它也就是光源与S分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距离，即由双缝到点的光程差，从作的垂线交于H点，三角形与三角形相似，因， 则（附1）DS1S2Hzy图1GlSdO从作的垂线交于G，到双缝的光程差 （附2）三角形与三角形相似，因，则（附3）对满足零光程差条件的而言， 得（附4）2在线光源情况下，可以导出双缝干涉的相邻两亮纹的间距为（附5） 值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源不难证明，它们经双缝产生干涉条纹的间距均如（5）式所示宽度为w的扩展光源是由一系列值不同的、连续分布的、相互独立的线光源构成因此扩展光源在观察屏上产生的干涉图像的强度是由每个线光源产生干涉条纹的强度相加而成当扩展光源宽度为w时，对于光源最边缘点有（附6）代入（4）式（附7）若（附8）则相当于扩展光源最边缘的线光源产生的干涉条纹错开了一个条纹间距由于扩展光源各部分产生的干涉条纹的光强分布都相同，各套干涉条纹强度相加的结果使屏上各处光强相等，变得一片模糊而无法分辨由（5）式和（7）式，求得为使条纹能被分辨，扩展光源允许的最大宽度（附9）观察屏aHM13 双孔屏Pb一解法一图2dhS2S1如图2所示，是由扩展光源上端边缘发出的平行光，是由扩展光源下端边缘发出的平行光设光线交于点，光线交于点光束中的光线经过到达观察屏上P点；光线经过到达观察屏上P点，两相干光波产生干涉，在观察屏上产生一套干涉条纹同理，平行光束在观察屏上产生另一套干涉条纹从扩展光源不同部位发出的、倾角在0和之间不同角度入射的平行光束，经迈克尔逊测星仪相应的反射镜走过不同路径到双孔，然后在观察屏上产生很多套干涉条纹这些干涉条纹光强度彼此相加，屏幕上就形成了光强度的分布图像根据第2问的结果，其清晰度取决于来自扩展光源上下边缘发出的平行光与分别在屏幕上产生两套干涉条纹的相对位置错开的程度由对称性考虑，平行光束中两条光线和在观察屏上的光程差为0，即平行光产生的那套干涉条纹的零级亮纹就在处现讨论以倾角斜入射的平行光束通过整个光学装置后，在观察屏上某点发生干涉时的光程差光束中的光线入射M1的光线经M3反射到达，光线从点算起，所经光程为；光线入射M2的光线经M4反射到达，光线从点算起，所经光程为由对称性可得（1）也就是说从M1和M2算起，光线和到达与的光程是相等的，但是光线和在到达M1和M2时，二者的相位却不同由作斜入射光线的垂线交点，与相位相等，因此，斜入射的两条平行光线和到达S1 和S2时的相位差是光程差引起的（2）从扩展光源下边缘发出的平行光束斜入射到测星干涉仪，经双孔后发出的相干光在观察屏上坐标为y（坐标原点取在上）的P点上引起的光程差（3）其零级亮纹所在位置对应的光程差，故的坐标（4）这也就是平行光与产生的干涉条纹的零级亮纹（也是两套条纹）错开的距离 （5）因在线光源情况下，可以导出双孔干涉的相邻两亮纹的间距为 （6）当二者错开一个条纹间隔时，即，代入（6）式（星光波长采用），得（7）远处的星体作为扩展光源发出的光经过“测星仪”到达双孔，在屏上观察到干涉条纹的清晰度下降，由小到大调节M1、M2距离h，当屏幕上条纹消失时，记下此时h的值代入（7）式就可确定扩展光源角直径的大小注：实际星体都看作均匀亮度的圆形扩展光源，通过调节h使屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，通过数学计算，用迈克尔逊测星仪测量得的星体角直径解法二如图3所示，对M1、M3而言，找出对的中间像和对所成的像以及光线a在M1、M3的反射点F和G由物像的对称性可知，故abGF图3图4M3hM1即从光线a上一点到和到的光程相等同理可证，从光线b上一点到和到的光程相等；对M2、M4（未画出）而言，从光线上一点到和到的光程相等；从光线上一点到和到的光程相等因此，光线a 到处与光线到处引起的光程差与没有反射镜M1、M2时两光线到、处的光程相等因a、垂直双孔屏，故（1）通过双孔、后，光线a、在的光程差（2）平行光束b斜入射时，可从、处求b、两光线到达、处的光程差由作的垂线（见图4），（3）说明光线超前于光线b图5 dab通过双孔、后光线b、射出的相干光线在屏幕上形成的零级亮纹不可能位于处，因为二者到达双孔前光线已超前了光线b，如图5所示，光线经过孔后要多走一段光程来抵消前面的相位差，以达到与光线b在没有光程差的情况下相交于远方屏幕上，形成干涉零级亮纹该点所对应的经过孔后多走的光程（4）从可求得平行光束经双孔后在观察屏上的干涉零级条纹位置由（3）式和（4）式，得 （5）的位置坐标 （6）由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是、之间的距离）h，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，记下此时h的值.这时相干光在屏幕上零级亮纹位置与的距离（7）当等于条纹间隔，即 （8）代入（7）式得 （9） 由（5）、（9）两式，得（10） 解法三根据第2问的结果，为使条纹能被分辨，扩展光源的允许宽度为，从而扩展光源对双缝中心的张角为 （1）如图3所示，对M1、M3而言，找出对的中间像和对所成的像以及光线a在M1、M3的反射点F和G由物像的对称性可知，故 即从光线a上一点到和到的光程相等同理可证，从光线b上一点到和到的光程相等；对M2、M4（未画出）而言，从光线上一点到和到的光程相等；从光线上一点到和到的光程相等从分析可知，为经M3、M1反射的等效像点，为经M4、M2反射的等效像点，从而可将测星干涉看作是经双孔、的等效杨氏双缝干涉，其缝距为 （2）由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是、之间的距离）h，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等，这时只需将测得的h直接替换（1）式中的d，可得计算星体角直径的公式 （3）得到与前两种解法相同的结果7、（21届复赛）目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明LS1S3PaaS2ahhz如图，S1、S2、S3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为a =arctan的圆锥形光束请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h、半径为r =0.75 h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z轴（以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S2为 L = 12.0 h处的P点（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距）1求出组合透镜中每个透镜光心的位置2说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据 zaLS1PaS2ahhS3O1O2(S2)O3图1MMu答案：1考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示图中表示组合透镜的平面，、为三个光束中心光线与该平面的交点 u就是物距根据透镜成像公式 (1)可解得 因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utana h，即u2h在上式中取“”号，代入f 和L的值，算得 1.757h (2)此解满足上面的条件 分别作3个点光源与P点的连线为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）由几何关系知，有 (3) 即光心O1的位置应在之下与的距离为(4)圆10.146h0.854h0.439h0.439hC1O1W1W2QQNNTTKC2图2x2x1圆2h同理，O3的位置应在之上与的距离为0.146h处由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点2现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于0.854h2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况图2画出了L1、L2放在平面内时相互交叠的情况（纸面为平面）图中C1、C2表示L1、L2的边缘，、为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与O1O2的交点为圆心的圆1和以（与O2重合）为圆心的圆2分别是光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为 (5)根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知 (6)故从S1发出的光束能全部进入L1为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1