高观点下的小学数学课件

高观点下的小学数学教学,柏传志 淮阴师院数科学院,所谓高观点，就是指站在更高更广的知识体系中去理解和认识低浅知识的思想方法。观点越高，事物越显简单，教学越有深度和广度。因此小学数学教师只有高观点地理解和认识小学数学内容，才能居高临下、瞻前顾后地、在学生现有知识水平上高效率地进行教学,以下本文通过几个案例来谈谈小学数学教师如何高观点地理解和认识小学数学内容。 案例1 想一想：下一个数是多少？你是怎样想的？ 1，4，7，10，_。 这是人教版新课标教材小学数学一年级下册第91 页的内容。 一般以为1、4、7、10后面只能填13，这种认识是不全面的。,解：设1、4、7、10 后面的数为a，则由高等代数中的拉格 朗日插值多项式有：,F(n)= (n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/ (1-2)(1-3)(1-4)(1-5) 1 + (n-1)(n-3)(n-4)(n-5)/ (2-1)(2-3)(2-4)(2-5) 4 + (n-1)(n-2)(n-4)(n-5)/ (3-1)(3-2)(3-4)(3-5) 7 + (n-1)(n-2)(n-3)(n-5)/ (4-1)(4-2)(4-3)(4-5) 10 + (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/ (5-1)(5-2)(5-3)(5-4) a (n=1,2,3,4,5),显然，F(1)=1,F(2)=4,F(3)=7,F(4)=10,F(5)=a。 或者设1、4、7、10 后面的数为a，则数列1，4，7，10，a 的 一个通项公式为：,F(n)=(n-1)/5 -(n-2)/5 )1 +(n-2)/5 -(n-3)/5 )4 +(n-3)/5 -(n-4)/5 )7 +(n-4)/5 -(n-5)/5 )10 +(n-5)/5 -(n-6)/5 )a 其中x表示不超过x 的最大整数，例如 3.8=3, -1.3=-2, 4=4, -5=-5, 8/9=0, -8/9=-1。,解法1,“染色法” 如果把每只鸡的2 只脚和每只兔的2 只后脚都染成鲜艳的红色，则还剩94 - 352=24（只） 脚没有染色。此时只有每只兔还有4 - 2=2（只）脚没有染色，故知兔有242=12（只）， 鸡有35 - 12=23（只）。 注：这里的“染色法”相当于“假定法”中假定35 只全部是鸡的解法。,方程组解法,设有x 只鸡、y 只兔，则有 x+y=35 2x+4y=94 2有：2x+2y=352 -有：2x+4y-（2x+2y） =94-352 于是 y=12，x=23。,解法2:古人的方法（人教版新课标教材六年级上册第114 页 的阅读资料）,（1） 假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，还有942=47 只脚。 （2） 这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里, 只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。 （3） 这时脚的总数与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。,案例3 三（1）班参加语文、数学课外小组学生名单,语文 杨明 李芳 刘红 陈东 王爱华 张伟 丁旭 赵军 数学 杨明 李芳 刘红 王志明 于丽 周晓 陶伟 卢强 朱小东,参加语文小组的有6 人，参加数学小组的有9 人，参加这两个课外小组 的一共有多少人？,这两个小组没有17 人呀？用图表示就清楚了。 语文小组 8人,数学小组9人，有3 个重复 的。 8+9-3 =14 这是人教版新课标教材三年级下册第108 页的内容。 8+9-3=14 反映了两个有限集合元素个数之间的关系。,设A、B 是两个有限集合,用g(A)、g(B)、g(AB)、g(AB)分别表示集合A、B、AB、AB 元素的个数，则有： g(AB)+g(AB)= g(A)+g(B) g(AB)= g(A)+g(B) - g(AB) g(AB)= g(A)+g(B) - g(AB) 这就是包含与排除即容斥原理。它是非常有用的。解答人教 版新课标教材五年级下册第137页第7*题就需要用容斥原理。,7* 五（1）班有25 人，许多同学参加了课外小组参加 音乐组的有12 人，参加美术组的有10 人，两个组都没参加 的有6 人。既参加音乐组又参加美术组的有多少人？ 参加音乐组或者美术组的共有25-6=19 人，既参加音 乐组又参加美术组的有12+10-19=3 人。,案例4 下面是人民教育出版社新课标教材小学数学 六年级下册第118、119 页的内容。,调查一下与邮政相关的费用 业务种类 计费单位 资费标准/ 元 本埠资费 外埠资费 首重100g内，每重20g（不足20g 0.80 1.20 信 按20g计算） 函 首重1012000g内，每重100g（不 足100g按100g计算）,根据上面表 的计费办法，请填出下表,资费/ 元 120g 2140g 4160g 6180g 81100g 本埠 外埠 从高观点来看这个问题，实质上是一个分段函数问题。,从高观点来看这个问题，实质上是一个分段函数问题。,f(x)= 0.8（x+19）/20 ） (1x100,本埠） 1.2（ x+19）/20 ） (1x100,外 埠） 1.2（ （x+99）/100 ）(101x2000,外埠） 2（ x+99）/100 ） (101x2000,外埠 其中x表示不超过x 的最大整数。,所以有：,资费/ 元 120g 2140g 4160g 6180g 81100g 本埠 0.8 1.6 2.4 3.2 4 外埠 1.2 2.4 3.6 4.8 6,案例5 （1）分母是8 的最简真分数有哪几个？ 它们的和是多少？,（2）再任选几个整数，分别写出用这几个数作分母的所有最简真分数，并求出每组真分数的和。 （3）你发现了什么规律？ 这是江苏教育出版社出版的课改新教材小学数学五年级下册第119 页第27 题。 这里的第（1）、（2）小题相对容易，难在了第（3）小题：你发现了什么规律？ 也就是说：分母是n(n1,nN)的所有最简真分数之和有什么规律？我们来探讨其一般规律。,解：（1）分母是n 的所有最简真分数的和等于分母是n 的最简真分数的个数2。 如果an，a、n 都是正整数，且n 与a互质，由整数的性质知n与n-a也互质，这样a/n 与（n-a）/n 都是最简真分数，即分母是n 的最简真分数成对出现（注：当 a/n = （n-a）/n 时，把 a/n 与（n-a）/n 仍然看作一对）且每对和为1，就是 a/n + （n-a）/n =1。所以分母是n的所有最简真分数的和等于分母是n的最简真分数的个数2。,（2）当分母n 仅有k 个质因数P_1、P_2P_k时，分母是n的最简真分数的个数 =n(1- 1/p_1)(1- 1/p_2)(1- 1/p_k)。 在1n 中P_1的倍数占总数的1/p_1，所以在1n 中不是P_1的倍数的数占总数的 (1- 1/p_1)。故知在1n 中不是P_1的倍数的数有n(1- 1/p_1)个。在上述这n(1- 1/p_1) 个数中，不是P2的倍数的数占这n(1- 1/p_1)个数的(1- 1/p_2)。故知在1n 中既不是P_1的倍数也不是P_2的倍数的数共有n(1- 1/p_1)(1- 1/p_2)个。, 在上述这n(1- 1/p_1)(1- 1/p_2)(1- 1/p_k-1) 个数中， 不是P_k的倍数的数占这n(1- 1/p_1)(1- 1/p_2)(1- 1/p_k-1) 个数的(1- 1/p_k)。故知在1n 中既不是P_1的倍数，也不是P_2的倍数也不是P_k-1的倍数，也不是P_k的倍数的数共有 n(1- 1/p_1)(1- 1/p_2) (1- 1/p_k-1)(1- 1/p_k)个。,所以， 由（1）， （2）两点可知： 当分母n 仅有k 个质因数P_1、P_2 P_k时，分母是n 的所有最简真分数的和为： F(n) = n(1- 1/p_1)(1- 1/p_2) (1- 1/p_k-1)(1- 1/p_k)/2,以上仅从几个案例说明小学数学教师要高观点地理解和认识小学数学内容。实际上，小学新课标教材渗透了很多现代数学内容，如排列与组合的简单内容等，大家都应该从高观点来理解和认识。教师从高观点来理解和认识，并不是要照搬高观点的方法来教学，而是在高观点的指导下，以学生现有知识水平为平台进行有效教学，这一点尤为重要。,数学课程标准指出：“义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生， 实现人人学有价值的数学， 人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。” 我们分析一节四年级“整数四则运算”的练习课。有一道练习题，要求学生通过计算，从两种方案里选一种即可。课堂上学生已经选出了合算的方案，到此为止，应该说，教学任务已经完成了，但是可以反复启发、不断引导学生探究另一种所谓隐含的新方案。,习题：旅行社推出“风景区一日游”的两种出游价格 方案。方案1：成人每人150 元，儿童每人60 元。方案2：团体5 人以上（包括5 人）每人100 元。问题：（1）成人6 人，儿童4 人，选哪种方案合算？ （2）成人4 人，儿童6 人，选哪种方案合算？ 解答要求：从两种方案里选一种即可达到要求。,二、师生探究过程 片断一：解答并探究第（1）题。 生1：我先按方案1 计算。成人需要6150900（元）,儿童需要460240（元）, 总价为9002401140（元）。再按方案2 计算。总人数为6410（人），总价为101001000（元）。将两种方案进行比较：11401000， 可见用方案2 合算。（生1 选准了方案， 达到了习题要求） 师：对于第（1）题还有比方案2 更合算的第三种方案吗？ （学生一致认为再没有更合算的方案了） 师：你们不妨这样想想，将6 名成人按方案2 考虑，4名儿童按方案1 考虑。试着算一算，把结果跟方案2 进行比较,生2：按老师的提醒，成人需要6100600（元），儿童需要460240（元），总价为600240840（元），与方案2相差1000840160（元）。 生3：我认为生2 在两种方案里都选择了对自己有利的条款，无论哪一种方案他都没有用完整，人家旅行社能允许他这样购票吗？ 生4：我认为生2 的新方案既没有违反旅行社的规定，又让旅客少花了钱。,师：生4 说得对， 这种做法确实没有违反旅行社的规定。他在两种方案里分别选择了对自己有利的条款， 这正是他聪明的地方，旅行社没有理由拒绝，我们又何乐而不为呢？ 生3：我原来以为选用了方案1，就不能再选方案2 了，一点都不灵活。要是完全按照旅行社的方案购票，我们要多花160 元钱呢！,评析：教师的有意提醒，引导学生寻找到了新方案。学生从单纯地选择一个方案，到灵活地在两种方案里寻找对自己有利的条款，重新组合成新方案，说明学生对应用题的理解已从表面现象逐渐向深层次 发展，这是明显的进步。,片断（二）：解答并探究第（2）题。 生5：用方案1 购票，成人需要4150600（元）儿童需要660360 （ 元）， 总价为600360960（元）。用方案2 购票，总人数为4610（人），总价为101001000（元）。我也提出方案3：成人购买团体票便宜，需要4100400（元），儿童购买儿童票合算，需要660360（元），总价为400360760（元）。 三种方案比较：1000960760 ，结论是：用方案3 合算。生3：我不同意这个新方案， 4 个成人购买团体票，不符合规定。,师：方案2 中购买团体票的要求为“团体5 人以上（包括5 人）每人100 元”，生3 说得对，4 个人买团体票，是不符合规定的，旅行社肯定不会卖票的。请大家想想办法，还有没有其他更好的方法了？ 生5：如果让6 名儿童购买团体票那又不合算，难道让成人也购买儿童票吗？那旅行社肯定不答应。我认为再没有更好的方案了。,生3：老师，我这样安排行不行？把1 个儿童跟4个成人合在一起凑够5 人就符合购买团体票的规定了，需要5100500（元），再让其余5 个儿童继续购买儿童票，需要560300（元），总价为500300800（元）。将三种方案比较：1000960800 ，而新方案既没违反规定又是最合算的， 只用800 元就可以出行了。 师: 生3 考虑第（1）题时不够灵活，现在考虑第（2）题时却很会动脑，他的巧妙组合，让我们感到非常神奇。那么，他的聪明之处表现在哪里呢？,生6：他把一个儿童安排在成人里，刚好凑够5人去购买团体票，这样既不违反规定，又可以带来实惠。从表面看，那个儿童多花了40 元，可是4 个大人却少花了200 元，总价要少花160 元，还是很合算。 师：他真聪明，只挪动一个人，就可以节省160元钱。这样的好办法，老师都没想到。 评析：在解决第（1）题时，教师引导学生找到了新方案；,在解决第（2）题时，教师鼓励学生自己找到了新方案。假如没有教师前面的启发、引导做基础，学生怎么会有后面创造性的神奇组合。可见，尖子生的创新思维与教师的有意拔高、适时点拨、正确引导密不可分。 【同行观点】 反方善意规劝：师生对此题的探究活动，超出了习题对学生的要求， 如果教材要求学生继续寻找新方案， 习题何不追加一句：“还有更好的方案吗？”可见，教材还是照顾了全体同学的接受能力，因此，寻找新方案是人为增加难度，教师随意拔高是多此一举。,从师生探究过程看， 教师花费了那么大力气，反复启发、不断引导，又花费了那么多时间找隐含的新方案。新方案较复杂、难度大，只有几个尖子生理解了，会用了，一般学生未必能理解，就算理解了，也未必会用。所以，这样费劲有必要吗？这种做法是否有点“拔苗助长”？ 与其花费那么多时间磨蹭在一道题上， 还不如多做几道难度较小的其他类型的习题，让学困生经多见广，提高考试成绩。,正方积极鼓励：教师引导学生不断寻找原方案中隐含的“新方案”，这个做法，虽然费时费力但却有效地开发了尖子学生的创新思维， 对他们将来在数学方面更好更快地发展， 无疑打下了坚实的 基础。这些价值，岂能用时间的多少来衡量。这不是多此一举，这样的“拔苗助长”，让尖子学生如虎添翼，有助于尖子学生尽快成长。毋庸置疑，这恰好是本节课的教学亮点。,这段教学案例，能使中下学生理解并掌握“从两种方案里选择一种总价合算的方案”就已经“保底”了，但这对尖子学生来说并没有“吃饱”。启发、引导这部分学生不断追求两个方案中隐含的“新方案”，就可以满足“不同的人在数学上得到不同的发展”，让他们利用生活经验理解问题细节， 通过计算与比较获得更加合理的价格方案，从而深刻感受到数学与生活的紧密联系，增强数学应用意识。这不正是新课程追求的目标吗？,师生虽然花费了大量的精力仅仅钻研了一道习题，探究了一种方案，却是体现了数学课程标准倡导的新理念：初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会， 去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。人的天赋差异是客观存在的， 是不以人的意志为转移的。因材施教的内涵既应包括“补差”，也应包括“拔尖”。在数学教学中，教师们都很重视对学困生的教和帮， 而往往忽视了对尖子学生的进一步提高和培养， 使他们的数学潜能没有得到充分的开发和利用，从而限制了他们在数学方面的发展，这无疑是一种损失。多年的教学经验让我深刻体会到“拔尖”和“补差”同样重要。从培养数学人才这个高度思考，“拔尖”比“补差”更为重要。,开放式的小学数学课堂教学 1. 初步学会运用数学的思维方式去观察,分析现实社会,去解决日常生活和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意识. 2. 体会数学与大自然及人类类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和广泛应用数学的信心 3. 具有初步的创新精神和实践能力,在情感态度和一般能力方面都能得到发展,数学课堂开放的角度: 程序的开放教学各个层次和环节的连接;多层次,多反馈,小步子,高效率;呈现螺旋上升,边学边练,边作边上升. 情境及问题的开放建立师生多方位的信息. 组织形式的开放小组合作学习,目前呈现:学生在小组学习中敷衍了事;小组长代替教师发挥作用的倾向;有小组长代替学生学习的倾向.要形成:学会倾听别人的发言;学会阐述自己的观点;学会给别人补充;学会质疑;学会与别人争论,这是学生前四方面的综合体现. 练习的开放 结论的开放,如何去设计教学方案贯彻以学生为本的理念: 从学生的需求点和发展点出发,我们倡导抓住本体知识,并向其上位知识延伸,再向下位知识拓展.要把握本体知识的本质要素是什么,从中引导学生进行有效体验.说半径,先会想圆;平移与旋转,大风车有在旋转吗 那人旋转了吗 又如,对称, 如何将对称物体,对称图案和对称图形相区别,这是教学所要认真面对的;又如,排列与组合,如何面对学生的“两条裤子合一条衣服“,行吗 教学还要把握本体知识的落脚点,注重上位知识的体会与理解.,北京市东城区一教师曾上了一节统计中的平均数,每人桌上有一“小猫钓鱼“玩具,这是一种全面锻炼幼儿能力的游戏.师:有什么规则 师:有哪些同学是钓鱼高手 师:有哪组同学是钓鱼高手呢 一学生说不公平了,因为有两组有五个人,而其他组都是四个人了,怎么办呢 一学生:可以除,每组的总数除以每组的人数.不是所有的知识都有上位点的,如分解质因数;要找到学生原有的知识经验和生活经验.可能性教学,先播放一足比赛开始部分,再问学生:这么重要的足球比赛,为什么还玩这种游戏 这样做公平吗 鸡兔同笼,先让学生试着完成,再问:想不想了解古代的孙子是怎样来计算的 这样的拓展,会激起学生高度的学习兴趣,使学习更加有效.,关于数学的开放性教学问题，1989 年美国加利福尼亚州教育部指出了开放性问题具备的五个功能： 1为学生提供了自己进行思考并用他们自己的数学观来表达的机会，这和他们的数学发展是一致的； 2 要求构建他们自己的反映，而不是选择一个简单的答案； 3 允许学生表达他们对问题的深层次的理解，这在多项选择中是无法做到的； 4 鼓励学生用不同的方法来解决问题，反过来提示老师用不同的方法解释数学概念； 5 开放性问题的模式是数学课堂教学的基本成份。 由此可见，开放题的功能决定了它的教育价值，决定了它是实施素质教育的一个有效途径，所以，研究数学开放题并用之于数学教学具有特别重要的现实意义,目前小学生在数学学习中普遍存在着的一些不正确的观念，譬如认为 “每个问题都只有唯一正确的答案” ； “学习数学的方法就是记忆和模仿” ； “每个问题都只需要花费510分钟就可解决，否则就不可能单凭自己的努力获得解决” ； “每个问题都只有唯一的正确解题方法”。 显然，它们对小学生数学学习、包括解题活动产生了极大的消极影响。那么，针对这种现象，我们有没有什么好的方法去改变它呢？下面从开放题教学这方面作一些探讨。,（一）开放题的答案是不唯一的,1答案不唯一是开放题的基本特征 “开放题”这一名称就是针对于传统封闭题来说的。封闭题的共同特征为：问题组织良好，答案只有正确和不正确（包括不完整）两种，并且正确答案是唯一的，。而开放题的答案往往有两种以上，或没有答案，或有无数种。 2“答案不唯一”与“结论不唯一”有区别 “数学问题的答案”和“数学问题的结论”是两个不同的概念，如“请你尽可能用各种不同的方式来计算12588”，12588作为一种确定的运算“结论”是唯一的，但这个问题的答案是多种多样的。戴再平先生4 认为：问题的“结论”是问题系统内部相对于问题的“条件”而言，问题的“答案（解法）”是相对于整个问题而言的。,3答案不唯一与自身知识储备有关 一位美国小学老师给学生提出了这样一个问题：每箱可乐装有24罐，要使全年级250名学生人手一瓶，需要多少箱？对于已经学会除法的学生来说，这不能算是一道开放题，但对于一个从未学过除法的学生，他会有一番思考探索，因而方法途径也会多样：有的同学用加法：对24连加直至250；有的学生用减法：从250减去24直至0；还有的学生提出：100包括4个25，由于250是2个100再加上半个100，因此，如果每箱可乐都装25罐，相对应的结果就是四个四箱再加上两箱，但现在每箱只有24罐，每箱少一罐，必须在第11箱中补取十罐这题就变成一道不折不扣的开放题。,2.开放题的设问方式是多方指向的 一道数学题的开放性很大程度上取决于这道题的设问方式。即使是一道传统的封闭数学题，改变其设问方式就能转换成一道开放题。如右图：四条直线交于一点 ， 图中有多少个角？ 显然这是一道封闭题，其答案是唯一的。如果把设问方式改为“你能找到多少个角？”，那么它并不要求你回答“事实上存在多少个角”，而是要求回答“你找到了多少个角”。不论你找到了多少个角（小于等于实际数目）都是正确答案，之间的差异只是解答的层次不同。因此答案不唯一，此题为开放题。这也一定程度反映了开放题更注重探索过程而非结果。,开放题的条件往往是不完备的 条件不完备也是开放题重要的特征之一。如：妈妈买了相同价格的糖，付了40元，售货员阿姨找回她4元，你知道妈妈买了几盒糖吗？由于题中“一盒糖的价格”条件的缺失，需要学生根据实际情况及“糖的盒数是正整数”这一隐蔽条件进行合理的猜想，补充合理的条件。 综上所述，开放题，相对于封闭题来言，是一类条件不完备，答案不唯一，可以从多层次、多角度，用多种策略来解决问题的问题。,二开放题的编制 （一）编制的方法 哥德说得好：要得到聪明的回答，就要提出聪明的问题。因此设计能调动学生积极思考，综合运用数学知识来解决问题的开放题就显得尤为重要。下面我将具体谈谈开放题的编制： 1转变陈题 （1）弱化已知条件，使其结论多样化 原题：小明与小玲的家和学校在同一条路上，小明的家在学校东面300米，小玲的家在学校东面500米，小明的家和小玲的家距离是多少？ 现该为：小明的家离学校300米，小玲的家离学校500米，小明的家离小玲的家距离是多少？ 很显然，因为缺乏小明的家和小玲的家具体的方位，所以他们的距离是不定的，学生的思考角度从单纯的加减数字变为估计他们两家可能的方位，从而促使他们积极思考，大胆猜想。,（2） 隐去原题结论，使其指向多样化 不少封闭型的陈题，其条件充分，结论明确而且单一化，在很多情况下，只要隐去其结论，就成为结论多样化的开放题。 如有一题： 做一个高4米，池口一周6.28米的圆柱形蓄水池，它的容积为多少？ 隐去结论，该为“根据这些条件，能提出并解答什么问题？” 那么除了求水池的容积，至少还有以下答案： a. 水池占地的面积 b. 给水池涂上水泥，需要涂多少面积？ c. 用水泵向池内注水，每分钟进水2立方米，全部需用多少时间？,3）改变提问方式，使策略的使用多样化 做同一个的零件，王师傅2小时做15个，李师傅3小时做20个，谁做的更快一点？（化为带分数后再比较） 把括号里的附加条件去掉，让学生用不同的方法解。之后学生们的解题思路之多，之妙让人惊讶： 策略一：152=7.5（个），7.53=22.5（个）。 假设李师傅和王师傅做的一样快，李师傅3小时应做22.5个，而现在只做20个，说明李师傅做得慢，即王师傅做得快。 策略二：假设王师傅和李师傅都做60个零件，王师傅需要15（6015）=8（小时），李师傅需要3（6020）=9（小时），可见王师傅做的快。,策略三：假设王师傅和李师傅都做6小时，王师傅可做15（62）=45（个），李师傅可做20（63）=40（个），可见王师傅做得快。 策略四：2150.13（小时），3200.15（小时），王师傅做一个零件用的时间比李师傅少，所以王师傅做得快。 对数学来说，获得正确的结果当然重要，但开放题更关注获得结果的过程。而是否能灵活运用各种策略来得到结果是这个过程中最关键的一部分,（4）结论条件互换，寻求结论成立的条件 传统题：长方形长是30厘米，宽是15厘米，求它的面积。 开放题：妈妈要做一块面积为450平方厘米的玻璃，这块玻璃的长和宽为多少？（长和宽的长度为整数） 学生寻求答案的过程为逆向思维的过程。在这道题里的体现为：两个数的乘积积分解成两个数，所需的工具为分解质因数的技能。这有利于学生进一步认清条件与结论的内在联系。,2另辟蹊径，创造开放 （1）比较某些对象的共同特点 发现某些对象的共同特点和相异点，是主体自主性创造的思维活动。对一些数学对象，或比较它们的异同，或加以分类，是编制开放题的视角之一。 中小学数学开放题丛书之一小学生开放题集（上）（2000年5月第一版）第1.1题：“在2，4，6，7，10这五个数中，哪一个与众不同？”就是一个比较正整数异同的例子。,（2）既定条件中求不同解法 给出既定条件，寻找多种解法与理论，是编制开放题一个重要方法。 如：怎样用两块一套的三角板画出15角？ 有以下多种做法：先画出30角，再将它对折：先画出60角，在内部画出45角，剩下就为15；先画出60角，在内部去除45后即可；画出90角，在内部依次去掉45和30角；画出60和45两个角的和，再减去一个直角等等。,（3）创设实际情景解决问题 当今社会，数学的理论和方法已经渗透到人类社会各个层面，纯数学和应用数学之间的距离在缩小。所以有必要在数学教育中渗透生活中的应用。生活本身就是开放的，问题的实际情境往往也是多变的动态的，因此可以引出多样的开放题。 篮球教练选主力问题：李教练要从王兵和施华两人选一个作为学校篮球队主力，两人在过去每场球赛中的得分情况如下： 王兵：12 10 8 6 施华：4 14 3 6 1