些重要的机率分配函数.ppt

一些重要的機率分配函數,常態分佈,常態分佈（normal distribution）又名高斯分佈（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的機率分佈，在統計學的許多方面有著重大的影響力。其機率密度函數為 常態分佈的平均值決定了其位置，其標準差決定了分佈的幅度。因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。,伯努分佈,伯努利分佈(the Bernoulli distribution)是一個離散型機率分佈，為紀念瑞士科學家雅各布伯努利而命名。若伯努利試驗成功，則伯努利隨機變數取值為1。若伯努利試驗失敗，則伯努利隨機變數取值為0。記其成功機率為 p ，失敗機率為q = 1 p。則其機率密度函數為：,二項分佈,二項分佈（binomial distribution）是一個離散型機率分佈，它描述n個獨立的伯努利試驗的成功次數。若伯努利試驗成功機率為p，則二項分佈的機率密度函數為： = C(n,k),二項分佈,：X表丟三次硬幣中出現正面的次，其中每次出現正面的機會為 0.6，則 P(X=1)=？ 答：X=1表示三次中有一正面，反面。 正反反這事件中剛好有一次正面，次反面。出現的機為 0.6 x (1-0.6) 一正反有幾種出現的情況： 正反反 反正反 反反正 共 C(3,1)種，且每一種機均相同。 P ( x = 1 ) = C(3,1) x 0.6 x (1-0.6) = 0.288,1,2,1,2,抽大頭,進一步舉例之前，先介紹一種遊戲。在日常生活中常常會遇到某些大家都不願做但是又不得不去做的事情，因此我們會想出某些奇特的方法，來決定哪一位運氣不好的必須去做，如台灣的“抽大頭”，就是某人丟一個銅板，若其中有一人的結果與其他人的結果都不相同，則此人即為”不配的人”，應該算輸，必須去做大家不願做的事，譬如買東西請大家吃！,下班前大家玩起抽大頭遊戲，大家集資買吃的 喝的 8個人玩 頭獎 白吃 1名 第2獎 50元 2名 第3獎 80元 2名 第4獎 90元 1名 第5獎100元 2名,抽大頭,例：設N個人同時丟銅板，且設彼此間不互相影響。若每次銅板出現正面的機率是p，試求不配的人出局的機率為何？ 解：N的銅板中若有(N-1)個出現正面或(N-1)個出現背面，不配的人出局的遊戲就結束。 由二項分佈定理知，出現(N-1)個正面的機率為 C(N,N-1)p (1 - p)， 而出現(N-1)個背面的機率為 C(N,1)p(1 - p) ， 因此不配的人出局的機率為 Np(1-p)p +(1 - p) ,N-1,N-1,N-2,N-2,例如N = 5, p = 0.5 出局的機率為,期望值,在現實生活中， 我們免不了要遇到一些有關機率的問題，例如：丟一骰子大約會出現多少點？買一張彩券大約會中多少錢？壽險保費要收多少？得某種病後大約尚可活多少年？ 對一隨機現象，我們常想粗略地知道其值究竟多大？期望值就是常被拿來扮演這種以一單一的值，來代表一隨機現象中之變數大小的角色。,例如：保險業可以透過對於各個不同年齡層之存活的機率(來衡量各年齡層的被保險人死亡的機率)，透過死亡必須支付的保險理賠金，以及各年齡層的死亡率，可以計算出各年齡層理賠金額的期望值，在扣除其他必要的成本(或某些特定的風險因素)外，所收取的保費高於此期望值，則常期下來保險公司自然賺錢，若所收取的保費低於此期望值時，常期下來保險公司會虧本，所以保險公司就可以根據這樣的資料(期望值的資料)，做為制定各年齡層要收取多少保費的參考(決策參考)依據。,期望值,你有1000元，參與下列哪個活動較划算? A.買大樂透，期待中頭獎。 B.10個人，每人出1000元，大家來抽獎頭獎1萬元。 C.買百貨公司福袋,百貨福袋預購資訊,京華城： 持消費券1000元或1000元現金可預購，二千五百個福袋頭獎為Nissan Livina汽車（價值545000元）或現金40萬元 新光三越信義新天地： 全館消費滿3600元，可先預購，每個售價1000元，限量500份，福袋商品內容每份價值5000元以上,問題1. 袋中有大小一致的紅球5個，白球3個與黑球2個，抽獎者自袋中抽出一球，若抽中紅球可得10元，抽中白球可得100元，抽中黑球可得200元，抽獎者應付給提供遊戲的莊家多少錢才合理？ 這個問題直覺的想法是，在每一個球上貼取得時所得的獎金，也就是說，在紅球上貼10元，白球上貼100元，黑球上貼200元，如此總共貼上 105+1003+2002=750, 750/10=75 (元) 把這750元除以球數10，所得75元，是抽獎者應付的價格。,另一方面， 10 5/10+1003/10+2002/10=75 這也是應得獎金乘上發生機率的總和。,問題2. 丟一公正骰子，出現的點數可能是1, 2, 3, 4, 5, 6, 因此點數的平均值是 1/6(1+2+3+4+5+6) = 3.5 這平均值也可看成是出現點數乘上其出現機率的總和： 11/6+21/6+31/6+41/6+51/6+61/6 = 1/6(1+2+3+4+5+6) = 3.5 將上述這種平均值的概念推廣到一般的試驗上面，可得期望值之定義如下。,期望值的定義,設S為一樣本空間，1 , 2 , ,n, 為 S 中全部的樣本點，其對應的機率分別為P(1) ,P(2) ,P(n)。又設 X 為 S 上之一實數值函數，即S 中每一樣本點i，皆對應一個值 X(i)， 則下列和 稱為X的數學期望值，也簡稱為期望值。,例題： 某人玩擲一勻稱骰子的遊戲， 在玩之前須先付10元。 若擲出 X 點數可得X 元， 問他擲骰子後可期望淨得多少元？,2,習題1. 在一擲硬幣遊戲中，玩這遊戲的人先付10元取得玩遊戲的權力，由玩遊戲的人擲四枚相同的硬幣，出現一個正面得5元而出現一個反面得1元，求玩這遊戲的期望值。,中位數不能傳達什麼?,科學家兼作家古爾德曾被診斷胃壁罹患癌症，這種病的存活期的中位數約八個月。他發現期望值與中位數不同。,50%,偏態不對稱,存活期,事件 機率 結果 A 999/1000 $1 B 1/1000 -$10,000,機率與期望值,事件 機率 結果 期望值 A 999/1000 $1 $0.999 B 1/1000 -$10,000 -$10.00 合計 -$9.001,機率與期望值,事件 機率 結果 上漲 70% 漲1% 下跌 30% 跌10%,機率與期望值,事件 機率 結果 期望值 上漲 70% 漲1% 0.7 下跌 30% 跌10% -3.00 合計 -2.3,機率與期望值,一個理性的賭徒會以賭金的期望值大小作為決策的依據。但對於賭性堅定的人，所憑藉的則是他的信心機率(個人篤信堅持下去總會碰上好運氣)，