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文档简介
,一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分,一、无穷限的广义积分,两极限均存在称 收敛,两极限至少 有一个不存在称 发散.,上述各广义积分统称为无穷限的广义积分, 简称无穷积分.,2.说明,(1)设 ,则,这里A与B是相互独立的.,(2)当 为奇函数时, 不能按积 分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为,解 .,3.例题,例1 计算广义积分 .,图57,解,极限不存在,是发散的,例2 计算广义积分 .,例3 计算广义积分 .,解 先计算定积分,则,.,.,即,二、无界函数的广义积分,这时称广义积分 收敛;若极限不存在, 称广义积分 发散.,类似地,设 在 上连续,在点 的 左邻域内无界,取 ,若 存 在,则称此极限为 在 上的广义积分, 记作 ,即,.,这时称广义积分 收敛;若极限不存在, 称广义积分 发散.,设 在 上除点 外连续,在点 的 邻域内无界,若广义积分 和广义积分 都收敛,则称上述两广义积分之和为 在 上的广义积分,记为 ,,即,这时称广义积分 收敛,若上述两极限 至少有一个不存在,则称广义积分 发 散.,2.说明,(1)在定义2中 在点 的邻域内都无 界,这些点均为 的无界间断点,也称为 的瑕点,故无界函数的广义积分也称为瑕积分.,当 为 的瑕点时,,当 为 的瑕点时,(3)若积分区间是有限的,必须先考察是定积分还是瑕积分,如是瑕积分而按定积分计算就会出现错误,即使是按定积分求得的结果与按瑕积分求得的结果相同,前者的概念也是错误的.,(4)若积分区间是无穷区间,被积函数是无界函数的广义积分,应把广义积分分拆成几项,使每项是单纯的无穷积分或瑕积分,再按各自的积分方法计算.,3.例题,例4 计算广义积分 .,解 , 是瑕点,,这个广义积分的几何意义是当 时, 图58中阴影部分趋近于 的面积值.,图58,例5 计算广义积分 .,解 因为 ,所以 是瑕点,,而 ,,所以 发散.,.,注:若按定积分计算(不考虑 是瑕点), 就会导致以下的错误.,例6 考察广义积分 的敛散性.,解 是瑕点,积分区间是无穷区间,,先考察 的敛散性.,当 时,,当 时,,当 时收敛,当 时
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