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文档简介

,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,9.3 全微分及其应用,二元函数对 x和y的偏增量,二元函数对 x和y的偏微分,偏导数讨论的只是某一自变量变化时,函数的变化率.,变化时函数的变化情况.,现在来讨论当各个自变量同时,全增量:,邻域内有定义,函数取得的增量,的全增量.,定义9.4 (全微分),可表示为,处可微分,则称函数,称为函数,记作,即,的全增量,处的全微分.,如果函数,也不能保证函数在该点连续.,多元函数即使在某点的偏导数都存在,若函数在某区域 D内各点处都可微分,定理 9.2 (可微的必要条件),设函数,可微分,且,处偏导数存在,则,则称该函数在 D内可微分.,证 (1),有,所以, 函数在该点连续.,于是,(2) 令,同理可得,从而,一元函数在某点可导 可微分,多元函数的各偏导数存在 可微分,？,例如，,但函数 f (x, y) 在点(0,0)处不连续, 所以不可微.,说明: 多元函数的各偏导数存在并不能保证可微.,在点(0, 0)处有,不连续的函数,一定是不可微的.,定理9.3 (微分充分条件),连续,可微分.,如果函数 的偏导数,对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：,可微 可导 连续 有极限,对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：,偏导连续 可微 连续 有极限,有偏导,多元函数连续、偏导数存在、可微的关系,考研数学一, 3分,考虑二元函数 f (x, y)的下面4条性质:,选择题, f (x, y)在点(x0 , y0)处连续, f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续, f (x, y)在点(x0 , y0)处可微,f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在.,若用“ ”,表示可由性质P推出性质Q,则有,连续.,D,结论不正确的是( ).,都存在,通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微,叠加原理也适用于二元以上函数的情况.,全微分记为,称为二元函数的微分符合叠加原理,如三元函数,有,分之和,解,所以,例 计算函数 在点(1, 2)的全微分.,解,所求全微分,例 计算函数 的全微分.,答案,练习,上海交大考题,上海交大考题,解,例 计
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