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文档简介

,一、多元函数的概念、区域,例1 圆柱体的体积,例2 理想气体压强的计算公式,1. 多元函数的概念,类似地可定义三元及三元以上函数,定义1,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,（如下图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,(P67-68),例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,（1）邻域,2. 区域,（2）区域,例如，,即为开集,连通,不连通,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,二、多元函数的极限,直观描述,或,例如, 设,设点 是函数 的某个定义域的内点 或边界点，如果在 的过程中， 对应的函数值 无限地接近某一个常数A ，则 称A是函数 当 时的极 限，记作,有,D,A,D,A,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,练习 求极限,解,其中, 若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,以不同方式趋于,不存在 .,例3. 讨论函数,函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P70-71 二元函数的极限在什么情况下不存在？,若P(x,y)以不同的路线逼近 时，f(x,y)有不同的 极限，则可以断定f(x,y)在点 处没有极限。,思考 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,不存在.,观察,播放,确定极限不存在的方法：,例3 求,解：,练习：P74 5.（1）（3） 6.,三、多元函数的连续性,定义3,如果函数f(x,y)在区域或闭区域D的每一点连续，那 么就称函数f(x,y)在D上连续。,例 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,例4,解,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,四、小结,多元函数的定义,思考题,思
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