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文档简介
第四节 有理函数的不定积分,本节要点,本节通过有理函数的高斯分解建立了有理函数的积分,一、有理函数的不定积分,二、可化为有理形式的三角函数的积分,三、可化为有理形式的简单无理函数的积分,方法, 并讨论某些可以化为有理函数的积分.,一、有理函数的不定积分,1.有理函数的部分分式分解方法,有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具,其中 为非零整数, 都是实数, 且,有如下形式的函数:,有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式之和,假设多项式 之间没有公因式, 且 的,的次数大于或等于 的次数, 此时称该有理函,有理函数的原函数都是初等函数, 它们一定可以通过有,理函数、对数函数、反正切函数表出.,次数小于 的次数, 此时称该有理函数为真分式. 若,数为假分式. 利用多项式的除法, 可将一个假分式化为,一个多项式与一个真分式之和的形式.,例如,由代数学知道, 多项式 总可以在实数范围内分,其中 因此有理函数中的真分,解成一次因式与二次因式的乘积, 即,式可以分解成若干个部分分式之和.,其中 等都是需要确定的常数,方法一: 将部分分式通分后, 再比较分子系数, 通过解,比较分子系数, 得方程组:,它们可以通过下面方法确定:,方程组确定系数. 例如:,即:,方法二: 部分分式通分后, 在分子恒等式中代入特殊的,值从而确定常数. 例如,令 得 ;令 得 ; 将,及 代入上式得 因此,即:,例 分解,解 因,所以,即有,令,令,令,即有,2.部分分式的不定积分,当有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和后, ,只出现多项式与下列形式的部分分式. 故只需考虑下列,形式的部分分式的不定积分.,具体解法如下:,其中,而,即,于是,总之, 有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和,以后, 各部分的不定积分都可以得到.,例1 求积分,解,例2 求积分,解 因,故,例3 求积分,解 因,故,例4 求积分,解 因,故,例5 求积分,解 设,即有,因此有,因而相应的积分为,考虑下列形式的不定积分,其中 为有理函数. 由于,二、可化为有理形式的三角函数的积分,令 则，,而,故,即,这里所用的变量代换 对三角函数的有理式都,适用, 故此代换又称为万能代换.,例6 求积分,解 令 , 则,例7 求积分,解 令 则原积分为,一些特殊形式的三角有理函数有下面一些特殊的方法:,若 则可用代换:,若 则可用代换:,若 则可用代换:,例8 求积分,解 由上面的讨论, 做变换 则:,例9 求积分,解,例10 求积分,时为零, 且,解 设,比较等式两边的系数, 得到,其中 不同,例11 求积分 其中,解 因,其中 则,例12 求积分,解 因,其中,三、可化为有理形式的简单无理函数的积分,考虑下列形式的简单无理根式的不定积分：,令 其中 为 的最小公倍数. 这样上,述形式的简单无理根式的不定积分可化为有理函数的不,定积分.,例1
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