2-5函数的微分(1).ppt

微分在近似计算中的应用,2.5 函数的微分, 引言, 微分的定义,例2.5.1-例2.5.2,例2.5.3-例2.5.4,例2.5.5,例2.5.6, 函数可微的条件, 微分的几何意义, 微分公式与微分运算法则,例2.5.7,例2.5.8, 微分的形式不变性,例2.5.9, 内容小结, 思考题, 练习题,前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 微分学的一个重要概念。,返 回,在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。,一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念微分。,2.5.1 微分的定义,计算正方形金属薄片受热后面积的改变量。,返 回,实例1:,实例2,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个x的线性函数,返 回,是否存在于所有函数的改变量中?,(即函数改变量的主要部分),它是什么?,如何得到?,解：,设函数 y = f (x) 在点x0的某邻域内有定义,可表示为,如果函数在点 x0处的改变量y = f (x0+ x) f (x0),y = Ax + o(x),则称函数y= f (x) 在点 x0 处是可微的,返 回,微分的定义,其中 A 是与x 无关的常数,即,且称 Ax 为函数y= f (x)在点 x0 处的微分,记做 dy,定义2.5.1,说明：,(1),(2),(3),(4),返 回,y = Ax + o(x),(一次函数),(一次主要部份),返 回,对比y = Ax + o(x),2.5.2 函数可微的条件,定理2.5.1,返 回,返 回,返 回,返 回,2.5.3 微分的几何意义,几何意义:(如图),M,）,N,Q,返 回,法则: 函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。,返 回,由于我们已经掌握求导数的方法，,因此，求微分的方法我们已经基本掌握了。,例2.5.1 求函数 y = f (x) = x 2 当x由 2 改变到 2.02 时的增量和微分。,解：,由已知条件得: x = 2,返 回,dx=x = 0.02,故,函数的微分为 dy = f (x)dx,函数的增量为,当 x = 2,x = 0.02时,=2xdx .,例2.5.2,解：,返 回,补例:,解：,返 回,2.5.4 基本初等函数的微分公式 与微分运算法则,返 回,将导数公式稍作变形，即得到微分公式。,微分公式有其独立的意义和作用。,返 回,1.基本初等函数的微分公式(16+3),法则: 函数的导数, 乘以自变量的微分。,2.微分的四则运算法则(4),返 回,记忆方法：,将导数四则运算法则中，变量右上角的导数符号“”改为变量前的“d”。,注意：,乘积关系中，微分部份居后。,2.5.5 复合函数的微分微分形式的不变性,则复合函数y = f u (x)的微分是,由于 u(x)dx = du,由此可见, 无论u是自变量还是中间变量，,函数的微分是 dy = f (u) du .,返 回,这一性质称为微分形式不变性。,设 y = f (u) 对 u 可导,当u是自变量时，,设 y = f (u) 及 u = u (x) 均可导,所以 dy = f (u)du .,dy = f (u)u(x)dx ，,微分形式 dy = f (u)du 保持不变。,返 回,微分方法总结,1、求导法：,(1)先求出函数y=f(x)的导数f (x),(2)写出函数y=f(x)的微分dy=f (x)dx。,2、微分法：,直接应用微分公式。,既可以用导数法求微分，,也可以用微分法求导数。,掌握了微分公式之后。,例2.5.3,解法一：求导法,返 回,解法二：微分法,函数微分的两种求法,即得到函数微分dy=f (x)dx,2、微分法：,两种方法可以灵活选择。,(3)复合函数的微分法则,(1)基本初等函数的微分公式,dy=f (x)dx-16+3个公式,(2)四则运算函数的微分法则,导数法则中后改为前d-4个法则,必须记忆微分法则。,1、求导法：,先计算函数的导数f (x),再将结果乘以自变量的微分dx，,不用记忆微分法则,套用微分公式:,例2.5.4,解法一：求导法,返 回,解法二：微分法,例2.5.5,解法一：,等号两边同时求微分，,返 回,要求对隐函数求微分、求导数。,应用微分法,得,两边微分，有,例2.5.5,解法二：,应用取对数法,返 回,两边取对数得,+微分法,例2.5.5,解法三：,等号两边同时对x求导，得,返 回,要求对隐函数求微分、求导数。,应用求导法,例2.5.5,解法四：,应用取对数法,返 回,在等号两端取对数，得,+求导法，,在等号两端对x求导，得,解,返 回,2.5.6 微分在近似计算中的应用（不作要求）,1.计算函数点值的近似值,返 回,2.计算函数增量的近似值,返 回,需要镀上0.01cm厚的金属漆 ,镀一只这样的金属球大,例2.5.7 有一批半径为10cm 的金属球 ,为了装饰需要，,解: 由于球体体积为,分析：这是求球体V增量V的近似值dV,约需要多少体积的金属漆？,返 回,可知 ,镀一只这样的金属球,大约需要12.56cm3金属漆。,例2.5.8 利用微分求 sin6030 的近似值,解,令 f (x) = sinx,则f (x) = cosx,返 回,分析：这是求函数f(x)在x0+x处的值f(x0+x)的近似值,例2.5.9 证明：当|x|很小时，ln(1+x) x,证 作辅助函数 f(x)=ln(1+x),由终值近似公式,即,返 回,得(1)式成为,当|x|很小时，ln(1+x) x。,3.常用近似公式（由无穷小等价公式转化而