泊松过程两种定义等价性证明.pdf

摘要：随机过程教材中关于泊松过程的定义有两种形式，但教材对其等价性要么没有证明，要么只给出了证 明的简单思路。本文给出了这两种定义等价性的详细证明过程。 关键词：泊松过程；第一定义；第二定义；等价性证明 中图分类号：O 2 1 1 . 6 文献标识码：A 文章编号：1 6 7 4 - 0 0 9 2 （ 2 0 1 4） 0 4 - 0 0 9 8 - 0 3 泊松过程两种定义等价性证明 陈立强 （安康学院 数学与统计系，陕西 安康 7 2 5 0 0 0 ） 2 0 1 4 年 8 月 第 2 6 卷第 4 期 安康学院学报 J o u r n a l o f A n k a n g U n i v e r s i t y A u g . 2 0 1 4 V o l . 2 6 N o . 4 收稿日期：2014-04-27 作者简介：陈立强，男，湖北十堰人，安康学院数学与统计系助教，主要从事随机过程研究。 0 引言 泊松过程是随机过程教材中的经典例子，在日 常生活及科研中经常碰到，因此有必要对其深入研 究。但在常见教材及科研文献中 （如文献 1 - 3 ） 常常只给出了两种定义，要么没有证明，要么只给 出了证明的简单思路，没有详细证明过程。本文对 这两种定义的等价性进行详细证明。 1 泊松过程的两个定义 计数过程(C o u n t i n gp r o c e s s) 定义设N( t) = N ( t) | t0 , tT 是一个随机过程，表示到 t 时刻为止 已知事件“A”发生的次数，并且N( t) 满足所有下 列条件： （ 1）N( t) 0 ； （ 2）N( t) N + ； （ 3） 若 s 0 的泊松分布，即对任 意的 s, t 0 , + ，有 P (N( t+ s) -N( s) = n) = e- t ( t) n n! , n= 0 , 1 , 2 , , 。 泊松过程(P o i s s o np r o c e s s) 的第二定义( 简称 为 B定义) 满足下面三条的计数过程N( t) = N( t) | t0 , tT 叫做泊松过程： （ 1）N( 0 ) = 0 ； （ 2）N( t) 是独立、平稳增量过程； （ 3）N( t) 满足下面两等式： ( 3 )P(N( t+ h) -N( t) = 1 ) =h+ o( h) ； ( 3 )P(N( t+ h) -N( t) 2 ) = o( h) ( h( o, + ) ) 。 2 泊松过程两个定义的等价性证明 证明要证明两个定义等价，即证AB。 先证AB（ 或者A蕴含B）。 显然，A中( 1 ) B中( 1 ) ；A中( 3 ) B中( 2 ) 之平 稳增量过程；A中( 2 ) B中( 2 ) 之独立增量过程。下 面只需证明A中( 3 ) B中( 3 ) 。 事实上，对任意 h 0 ，都有 P(N( t+ h) -N( t) = 1 ) = (h) 1 1 ! e -h= h e- h =h k= 0 (- h) k k! =h 1 + - h 1 ! + (- h) 2 2 ! + o( (- h) 2 =h ( 1 -h+ o(h) ) =h-2h2+h o(h) =h+ o(h) 。 P(N( t+ h) -N( t) 2 ) =P(N( h) -N( 0 ) 2 ) =P(N( h) - 0 2 ) ， 第一个等号是因A中( 3 ) B中( 2 ) 之平稳增量 98 过程，第二个等号是因为A中( 1 ) B中( 1 ) ，即N( 0 ) = 0 。则 P(N( t+ h) -N( t) 2 ) =P(N( h) -N( 0 ) 2 ) = k= 2 (h) k k! e -h= e-h k= 2 (h) k k! = e- h ( 1 + h 1 !+ (h) 2 2 ! + + (h) n n! + ) - 1 - h 1 ! = e- h eh- 1 - h 1 ! = 1 - e -h- h e- h, 因为l i m h0 + 1 - e- h- h e- h h = l i m h0 + 0 - e- h( - )- e- h+ he-h( - ) 1 = l i m h0 + e- h- e- h+ 2 he- h = l i m h0 + 2 he- h= 0 , 所以1 - e- h- h e- h= o( h) ，即 P(N( t+ h) -N( t) 2 ) =o( h) 。 故AB成立。 再证BA成立。 实际上，B之 （ 1） 推出 （ 蕴含 ）A之 （ 1）， B之 （ 2） 推出 （ 蕴含 ）A之 （ 2） 显然成立，下面 主要证明B之 （ 2） 之平稳增量过程和 （3） 推出 （ 蕴含 ）A之 （ 3）。 设P n( t) =P( N( t) = n) =P(N( t) -N( 0 ) = n) ，( * ) 因为N( 0 ) = 0 ， 所以P 0( t+ h) =P( N( t+ h) = 0 ) =P(N( t+ h) -N( 0 ) = 0 ) 。 此式含义可解释为 0 时刻到 t+ h 时刻电话交换 台 （ 用一个实际例子说明 ） 收到的呼叫次数为 0 次。 取 0 0 ) ，有 P 0( t+ h) =P( N( t+ h) -N( t) = 0 ,N( t) -N( 0 ) = 0 ) , 又因为N( t) 是独立增量过程，故 P 0( t+ h) =P( N( t+ h) -N( t) = 0 )P(N( t) -N( 0 ) = 0 ) 。 由B之 （ 3），得 P(N( t+ h) -N( t) = 0 ) = 1 -P(N( t+ h) -N( t) = 1 ) -P(N( t+ h) -N( t) 2 ) = 1 -h- o( h) - o( h) = 1 -h+ o( h) 。 再利用式 （ *） 得 P(N( t) -N( 0 ) = 0 ) =P 0( t) 。 综合上述得 P 0( t+ h) =P0( t) ( 1 -h+ o( h) ) =P0( t) -hP0( t) +P0( t) o( h) ， 所以 P 0( t+ h) -P0( t) h = -P 0( t) + o( h) h P 0( t) ， 因此l i m h0 + P 0( t+ h) -P0( t) h =l i m h0 + P 0( t+ h) -P0( t) ( t+ h) - t =l i m h0 + - P 0( t) + o( h) h P 0( t) 。 故P 0 ( t) = -P 0( t) 。 这是一个变量可分离微分方程，变形为： dP 0( t) dt = -P 0( t) ， dP 0( t) P 0( t) = -dt( 1 P 0( t) 0 ) ， 则 乙 dP 0( t) P 0( t) =乙-dt ， l nP 0( t) = -t+C ， l nP 0( t) = -t+C ， 故P 0( t) = eC e- t= c e-t （C 和 c 是积分常数 ）， 又因为P 0( 0 ) =P( N( 0 ) -N( 0 ) = 0 ) =P(N( 0 ) = 0 ) = 1 ，则 P 0( 0 ) = c e- 0 = c= 1 ， P 0( t) e- t。 由于P n( t+ h) =P( N( t+ h) = n) =P(N( t+ h) -N( 0 ) = n) ，把 时间段( 0 , t+ h 分成两段：( 0 , t , ( t, t+ h ，则有 P n( t+ h) =P( N( t+ h) -N( 0 ) = n) =P n i= 0 胰N( t+ h) -N( t) = i,N( t) -N( 0 ) = n- i =PN( t+ h) -N( t) = 0 ,N( t) -N( 0 ) = n 或N( t+ h) -N( t) = 1 ,N( t) - N( 0 ) = n- 1 或 n i= 2 胰N( t+ h) -N( t) = i,N( t) -N( 0 ) = n- i =PN( t+ h) -N( t) = 0 ,N( t) -N( 0 ) = n +PN( t+ h) -N( t) = 1 , N( t) -N( 0 ) = n- 1 +P n i= 2 胰N( t+ h) -N( t) = i,N( t) -N( 0 ) = n- i =PN( t+ h) -N( t) = 0 PN( t) -N( 0 ) = n +PN( t+ h) -N( t) = 1 PN( t) -N( 0 ) = n- 1 + n i = 2 PN( t+ h) -N( t) = iPN( t) -N( 0 ) = n- i ( 最后一步根据泊松过程独立增量性得) 。 利用式 （ *） 和平稳增量性 （ B之 （ 2） ） 可得 P n( t+ h) =P0( h) P n( t) +P1( h) P n-1( t) + n i = 2 Pi( h)Pn-i( t) ， 由定义 B之 （ 3） 知 n i = 2 Pi( h)Pn-i( t) =P2( h)Pn-2( t) +P3( h)Pn-3( t) + = o( h)P n-2( t) + o( h) P n-3( t) + = o( h) ， 所以P n( t+ h) =P0( h) P n( t) +P1( h) P n-1( t) + o( h) , ( * * ) 因P n( t) =P( N( t) = n) =P(N( t) -N( 0 ) = n) ， 故P 0( h) =P( N( h) = 0 ) =P(N( t+h) -N( t) = 0) ( 第二个等号 利用了 B之 （ 2） 平稳性) ， P 0( h) = 1 -P( N( t+h) -N( t) = 1 ) -P(N( t+h) -N( t) 2 ) = 1 -h+o( h) ， P 1( h) =P( N( h) = 1 ) =P(N( t+h) -N( t) = 1 ) =h+o( h) ( 第三 个等号利用了 B定义之 ( 3 ) ) 。 代入( * * ) 式得 P n( t+ h) = 1 -h+o( h) P n( t) + h+o( h) P n- 1( t) + o( h) 99 P r o o f f o r E q u i v a l e n c e o f T w o K i n d s o f D e f i n i t i o n f r o mP o i s s o n P r o c e s s C H E NL i q i a n g （ D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ，A n k a n g U n i v e r s i t y ，A n k a n g 7 2 5 0 0 0 ，S h a a n x i ，C h i n a） A b s t r a c t ：I n t e x t b o o k o f S t o c h a s t i c P r o c e s s ，t h e r e a r e t w o k i n d s o f d e f i n i t i o n a b o u t P o i s s o n P r o c e s s . B u t i t s e q u i v a l e n c e a r e n o t b e p r o v e n o r g i v e n s i m p l y p r o v e n . T h e r e f o r e ，t h e d e t a i l e d p r o o f o f e q u i v a l e n c e i s g i v e n i n t h i s p a p e r . K e y w o r d s ：P o i s s o n P r o c e s s ；t h e f i r s t d e f i n i t i o n ；t h e s e c o n d d e f i n i t i o n ；e q u i v a l e n c e = 1 -hP n( t) + hP n- 1( t) + o( h) ， 故 P n( t+ h) -Pn( t) h = -P n( t) +Pn- 1( t) +o( h) h ， 所以l i m h0 + P n( t+ h) -Pn( t) ( t+ h) - t =l i m h0 + P n( t+ h) -Pn( t) h =l i m h0 + - P n( t) +Pn- 1( t) +o( h) h ， 即P n( t) = -Pn( t) +Pn- 1( t) 。 下面用拼凑法找出P n( t) 和Pn- 1( t) 间的关系。 对上面的微分方程两边同乘以 et，得 etP n( t) = - etPn( t) + etPn- 1( t) ， 移项得etP n( t) + etPn( t) = etPn- 1( t) ， 即 d etP n( t) dt = etP n- 1( t) ， ( * * * ) 当 n= 1 时，P n- 1( t) =P0( t) 。由前文知P0( t) = e- t， 再把 n= 1 带入式( * * * ) 得 d etP 1( t) dt = etP 0( t) = ete- t =， 故 乙 d etP 1( t) =乙dt，etP1( t) =t+C ， 则P 1( t) = e- t( t+C ) ，(C 为积分常数) 。 由 ( * ) 式知，P 1( 0 ) = P(N( 0 ) -N( 0 ) = 1 ) = 0 ， 所以P 1( 0 ) = e- 0( 0 +C ) = 0 ，解得C = 0 ， 故P 1( t) = e- tt。 用数学归纳法猜想： P n( t) =P( N( t) = n) =P(N( t) -N( 0 ) = n) = e- t (t) n n! , 其中 n= 0 , 1 , 2 , , 。 下面用数学归纳法对猜想进行证明。 当 n= 0 , 1 时，由前面的求解过程知猜想成立。 假设 n- 1 时猜想成立，即P n- 1( t) = e- t( t) n- 1 ( n- 1 ) ! 。 由式 ( * * * ) 得 d etP n( t) dt = et