牛顿运动定律质心与质心运动定理.pdf

1. 质心的计算1. 质心的计算 以两质点系统为例以两质点系统为例 12 12 2 12 12 2 ) () d Fm vm v dt d m rm r dt + + vvv vv 矢量和 （ 1F uv 2F uv 1 m 2 m 1r v 2r v cr v O 12 1 2 12 12 2 2 2 2 () () c c c mm mm m rm rd dt dPd MM a dtdt r + + + = = vv uu v v v 质心与质心运动定理质心与质心运动定理 即称作即称作 质心运动定理质心运动定理 其中其中加权平均值加权平均值 M C Fa= v v 矢量和 12 12 12 c m rm r r mm + = + vv v 12FFF=+ uvuvv 矢量和 i ii i ii C i i mrmr r mM = vv v 1 n i i FF = = uvv 矢量和 推广：推广：对n个质量组成的系统对n个质量组成的系统 质点组:连续分布:质点组:连续分布: ii i C i i i iii ii CC ii ii ii i C i i m x x m m rm y ry mm m z z m = = = v v C CC C xdm x dm rdmydm ry dmdm zdm z dm = = = v v 质心位置的计算质心位置的计算: ci aMF r r = 表明：不管物体的质量如何分布，也不管外 力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是 物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都 集中作用其上的一个质点的运动一样。 表明：不管物体的质量如何分布，也不管外 力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是 物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都 集中作用其上的一个质点的运动一样。 质心运动定理质心运动定理 M C Fa= v v 矢量和 1.1.质心质心的位矢并不是各个质点的位矢的的位矢并不是各个质点的位矢的几何平 均值 几何平 均值，而是它们的，而是它们的加权平均值加权平均值.质心的性质只有 在系统运动与外力的关系中才体现出来.因此,质 心并不是一个几何学或运动学概念，而是一个 .质心的性质只有 在系统运动与外力的关系中才体现出来.因此,质 心并不是一个几何学或运动学概念，而是一个动 力学 动 力学概念概念 2.体系质心的坐标与坐标的选取有关，但质心 与体系内各个质点(质元)的相对位置与坐标的选 取无关 2.体系质心的坐标与坐标的选取有关，但质心 与体系内各个质点(质元)的相对位置与坐标的选 取无关 几点说明：几点说明： 3.作用在体系上的诸外力一般作用在不同的质点 上，就其作用效果而言不能 3.作用在体系上的诸外力一般作用在不同的质点 上，就其作用效果而言不能等效等效为一个合力.但对质 心运动而言,这些外力犹如都作用在 为一个合力.但对质 心运动而言,这些外力犹如都作用在质心质心上上 4.将坐标原点取在质心上的平动参照系称作质心 坐标系或质心系对于外力的矢量和为零或不受外 力作用的体系的质心参照系为惯性系，否则为非惯 性系惯性系情况下质心的动量守恒质心的动量 也就是系统的总动量 4.将坐标原点取在质心上的平动参照系称作质心 坐标系或质心系对于外力的矢量和为零或不受外 力作用的体系的质心参照系为惯性系，否则为非惯 性系惯性系情况下质心的动量守恒质心的动量 也就是系统的总动量 cc PMV= vv i Pv= v v i系 i m 例:例: 不规则细杆质心位置的计算: 长为 不规则细杆质心位置的计算: 长为l l 的细杆的质量分布不均匀，设线密度的细杆的质量分布不均匀，设线密度 x x为离杆的一端之距离，为离杆的一端之距离，a a为常量，求杆的质心坐 标。 为常量，求杆的质心坐 标。 ax= 解：解：显然显然 0 cc yz= 2 3 00 2 00 1 2 3 1 3 2 ll c ll xdxax dx al xl al dxaxdx = 0 c dxx ax= x 例：例：长为长为l总质量为总质量为m的柔软绳索放在水平台面上， 用手将绳索的一端以恒定速率 的柔软绳索放在水平台面上， 用手将绳索的一端以恒定速率v0向上提起， 求当提起高度为 向上提起， 求当提起高度为x x时手的提力 （时手的提力 （ x l） 。） 。 F v 0 v uu v x dx o N v x F v 0 v uu v x dx o N v x 解法一：解法一：利用物体系的动量定理利用物体系的动量定理 0 x Pmv l = 在时刻，提起在时刻，提起 xdxxdx，体系的总动量为，体系的总动量为tt+ 0 ()xdx Pmv l + = 设设t t时刻提起时刻提起x x时，体系的总动量为时，体系的总动量为 2 0 mx Fvmg ll =+ 由体系的动量定理：由体系的动量定理： dxv l m PPdtg l x mF 0 )(= 而而 dt dx v = 0 2 0 mx Fvmg ll =+ 解法二：解法二：利用质心运动定理利用质心运动定理 以绳子(体系)为研究对象，提起以绳子(体系)为研究对象，提起x x时，绳 子的质心坐标为时，绳 子的质心坐标为 22 0 0 2 , cc dxd xvx dxx