隐函数的求导公式(24).ppt

1. 二元函数,在原点处( ),A连续，偏导数存在 B不连续，偏导数存在 C偏导数存在且可微 D不连续，偏导数也不存在,B,D,8.5 隐函数的求导法则,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,本节讨论:,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1. 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,则还可求隐函数的,例1. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解: 令,连续 ;,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可,且,并求,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x = 0 , 注意此时,导数的另一求法, 利用隐函数求导,定理2 .,若函数,的某邻域内具有连续偏导数 ;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:,满足, 在点,满足:,某一邻域内可唯一确,两边对 x 求偏导,同样可得,则,例2. 设,例3.,设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比 行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式 :, 在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,故得,系数行列式,同样可得,例4. 设,求,练习: 求,答案:,对于方程组,怎样求偏导数,首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数,当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组,如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了y , z,故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x),若,则,怎样求,两边对 x 求导,注意左边是复合函数（三个中间变量），,同理,以 F(x, y, z)=0 为例, 主要有两种方法:, 公式法,关于隐函数求二阶偏导数,不宜死背此公式! 但推导此公式的方法是一种较好的计算方法.,解得:,两种方法相比, 较简便, 因为可避免商的求导运算, 尤其是在求指定点的二阶偏导数时, 毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入, 即可求得二阶偏导数,使运算大为简化.,直接法,在方程 F(x, y, z)=0 两边连续求导两次,的形式, 则,这样一次就可求得全部的一阶偏导数.,求隐函数一阶偏导数的全微分法:,利用一阶全微分形式的不变性, 在所给具体方程F(x, y, z)=0 两边直接求全微分, 将三个变量等同看待,求全微分后, 整理成,例如: 设 x2+y2+z24z=0, 求,解: 在方程 x2+y2+z24z=0 的两边求微分, 得,2xdx+2ydy+2zdz4dz=0,整理得,则,三、小结,隐函数的求导法则,（分以下几种情况）,思考题解答,记,则,于是,思考题,解,令,则,解法1,解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,由d y, d z 的系数即可得,解法3.利用公式,解,练习3,解: 两个