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文档简介

一、 函数的连续性 二、 函数的间断点 三、 初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质,第一章 函数、极限和连续,1.4 函数的连续性,一、 函数的连续性,定义 设函数 y = f (x0) 在 x0的某一邻域内有定义，,如果,则称函数 在 处连续。,函数y = f(x)在x0处点连续,设函数 在 的某一邻域内有定义，如果,则称函数y = f(x)在x0处点连续,例1,证,由定义 知,定理,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例2,解,右连续但不左连续 ,例3 证明,在,处连续，,证明：,二、函数的间断点,可去间断点,例4,解,是 间断点,可去,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,在此例中,则函数 y = g(x)在 x =1处连续,跳跃间断点,例5,解,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,是 间断点,跳跃,第二类间断点,例6,解,是 间断点,第二类,该间断点也称为无穷间断点,例7,解,间断点：,1、函数 在 连续，求k,2、函数 在 连续，求k,练习：,3、求函数 的间断点,（1）解：,（2）解：,（3）解：,是可去间断点,是无穷间断点,三、 初等函数的连续性,定理1,例如,1、四则运算的连续性,2、复合函数的连续性,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,定理2 设函数 由函数 与函数 复合而成。若 函数 在 点连续，则有,注意 定理3是定理2的特殊情况.,定理3 设函数 由函数 与函数 复合而成。若 在点 连续，且 ，而函 数 在点 连续，则复合函数 在点 也连续.,3、初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内是连续的.,一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;,注意,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,例9,例10,解,解,注意 2. 初等函数求极限的方法代入法.,例11 求,解：原式,例12 求,解：原式,1、(最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在 该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.,四、闭区间上连续函数的性质,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,2、零点存在定理与介值定理,几何解释:,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例12,证,由零点定理,三、小结： （1）重点要掌握函数的连续
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