2017_2018学年高中数学第0章圆与方程专题..doc

4.3空间直角坐标系一、空间直角坐标系定义以空间中两两_且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标_，x轴、y轴、z轴叫做_通过每两个坐标轴的平面叫做_，分别称为xOy平面、yOz平面、_平面画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy_，yOz90图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_轴的正方向，食指指向_轴的正方向，如果中指指向_轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系二、空间直角坐标系中点的坐标1空间中的任意点与有序实数组之间的关系如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的_，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组(x，y，z)是_的关系，有序实数组_叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作_，其中x叫做点M的_，y叫做点M的_，z叫做点M的_2空间直角坐标系中特殊位置点的坐标点的位置点的坐标形式原点(0,0,0)x轴上(a,0,0)y轴上(0,b,0)z轴上(0,0,c)xOy平面上(a,b,0)yOz平面上(0,b,c)xOz平面上(a,0,c)3空间直角坐标系中的对称点设点P(a，b，c)为空间直角坐标系中的点，则对称轴(或中心或平面)点P的对称点坐标原点x轴y轴(a，b，c)z轴xOy平面yOz平面xOz平面三、空间两点间的距离公式如图，设点是空间中任意两点,且点在xOy平面上的射影分别为M,N,那么M,N的坐标分别为.在xOy平面上，.在平面内，过点作的垂线，垂足为H,则，所以.在中，根据勾股定理，得_.因此，空间中点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之间的距离是_.K知识参考答案：一、垂直 原点 坐标轴 坐标平面 135 二、1平面 一一对应 横坐标 纵坐标 竖坐标三、 K重点空间直角坐标系的有关概念，会用空间直角坐标系刻画点的位置K难点掌握空间两点间的距离公式，会用公式计算或证明K易错易混淆平面与空间直角坐标系1确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：过P作PCz轴于点C；过P作PM平面xOy于点M，过M作MAx轴于点A，过M作MBy轴于点B；设P(x，y，z)，则|x|OA|，|y|OB|，|z|OC|.当点A、B、C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、C分别在x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为负；当点A、B、C与原点重合时，则x、y、z的值均为0.空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的.【例1】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AD|=3,|DC|=4,|DD1|=2,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,E,F的坐标.【例2】如图，在正方体中，分别是的中点，棱长为1. 试建立适当的空间直角坐标系，写出点的坐标【解析】建立如图所示坐标系方法一：点在面上的射影为，竖坐标为.所以. 在面上的射影为的中点，竖坐标为1.所以.方法二：，为的中点，为的中点故点的坐标为即，点的坐标为，即.2求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决.如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数.【例3】设点是直角坐标系中一点,则点关于轴对称的点的坐标为ABCD【答案】A【解析】点关于x轴对称的点的坐标为.【例4】空间直角坐标系中,点关于点的对称点的坐标为ABCD【答案】C【解析】设,所以点的坐标为.选C.【名师点睛】点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点，则的中点的坐标为.3空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用,可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度.【例5】已知点，求：（1）线段的长度；（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件.【解析】（1）根据空间两点间的距离公式得线段的长度，所以线段的长度为. （2）因为点到两点的距离相等，所以有下面等式成立：，化简得，因此，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是.【例6】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是正方体的体对角线D1B的中点,点Q在棱CC1上.当2|C1Q|=|QC|时,求|PQ|.【例7】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,|AP|=|AB|=2,|BC|=2,E,F分别是AD,PC的中点.求证:PCBF,PCEF.【解析】如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.|AP|=|AB|=2,|BC|=2,四边形ABCD是矩形,A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),|PB|=2,|PB|=|BC|,又F为PC的中点,PCBF.，又F为PC的中点,PCEF.3混淆平面与空间直角坐标系【例8】已知空间中两点，在轴上有一点，它到两点的距离相等，求点的坐标.【错解】由已知得，的中点坐标为，且所在直线的斜率为3,故的垂直平分线的斜率为,则垂直平分线的方程为，当时，故点的坐标为.【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误.由于点到两点的距离相等，故可求的垂直平分线.以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解. 【正解】设点的坐标为，则，即,解得,所以点的坐标为. 【易错点睛】平面直角坐标系中的性质在空间直角坐标系中并不能全部适用,如平面直角坐标系中的中点公式,可类比到三维空间中,而直线方程及一些判定定理、性质在三维空间中不一定适用. 1如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则点B1的坐标是A(1,0,0)B(1,0,1)C(1,1,1)D(1,1,0)2在空间直角坐标系中，点到平面yOz的距离是A1 B2C3 D3在空间直角坐标系中,点与点关于( )对称.A原点B轴C轴D轴4已知点坐标为，点在轴上，且，则点坐标为A BC D5点在轴上的投影点和在平面上的投影点的坐标分别为ABCD6已知，则的形状是A等腰三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形7在空间直角坐标系中，点在xOz平面上的射影为M点，则M关于原点对称点的坐标是_8在空间直角坐标系中，正方体的顶点的坐标为，其中心的坐标为，则该正方体的棱长等于_9如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，射线OM，ON，OP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.若E，F分别为PA，PB的中点，求A，B，C，D，E，F的坐标.10 如图所示，BC=4，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面上，且BDC=90，DCB=30,求AD的长度.11如图,四边形ABCD是矩形,M,N分别是AB,PC的中点.求证:.12已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,则对于图(1)中的点B1(2,2,2),在图(2)所示的空间直角坐标系中的坐标和B1(2,2,2)关于xOy平面对称的点的坐标分别是A(2,2,2),(2,2,-2)B(2,2,0),(2,2,-2)C(2,2,0),(-2,2,-2)D(2,2,2),(2,-2,-2)13在空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为的点共有 A0个 B1个C2个 D无数个14已知点A(1,1,0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PAAB成立?若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由.15已知直三棱柱ABCA1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC2，CBCC14，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点.如图所示，建立空间直角坐标系.(1)在平面ABB1A1内找一点P，使为等边三角形.(2)能否在MN上求得一点Q，使为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明.1234561213CACABCBC1【答案】C【解析】点B1到三个坐标平面的距离都为1,易知其坐标为(1,1,1),故选C.2【答案】A【解析】点到平面yOz的距离就是点的横坐标的绝对值.3【答案】C【解析】由点与点可知，两个点的y值不变，而x值与z值均为相反数，所以这两个点关于y轴对称.6【答案】C【解析】由两点间的距离公式可得|AB|=，|AC|=，|BC|=，从而|AC|2+|BC|2=|AB|2，所以是直角三角形.7【答案】(2,0,3)【解析】M在xOz平面上的射影为，所以M关于原点对称点的坐标为(2,0,3).8【答案】【解析】设正方体的棱长为，由可知，正方体的体对角线长为，故.9【解析】易求出B点坐标为(1,1,0).因为A，C，D与B点分别关于xOz平面、yOz平面、坐标原点对称，所以，.又因为E，F分别为PA，PB的中点，且P(0,0,2)，所以，.11【解析】建立空间直角坐标系如图.设.则.,.12【答案】B【解析】在图(2)所示的空间直角坐标系中,D1是坐标原点,则B1的坐标是(2,2,0).若两个点关于xOy平面对称,则对称点的横、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,故B1(2,2,2)关于xOy平面对称的点的坐标是(2,2,-2).15【解析】(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内