2019版高考数学复习算法复数推理与证明11.4直接证明与间接证明学案理.docx

114直接证明与间接证明知识梳理1直接证明2间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立诊断自测1概念思辨(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(2)证明不等式最适合的方法是分析法()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A22P90例5)用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”正确的反设为()Aa，b，c中至少有两个偶数Ba，b，c中至少有两个偶数或都是奇数Ca，b，c都是奇数Da，b，c都是偶数答案B解析a，b，c中恰有一个偶数说明有且仅有一个是偶数，其否定有a，b，c均为奇数或a，b，c中至少有两个偶数故选B.(2)(选修A22P89T2)设ab0，m，n，则m，n的大小关系是_答案mn解析解法一：(取特殊值法)取a2，b1，得m0，n0，则m2n2ab2ab2b2220，m2n2，m0，b0，且ab4，则下列不等式中恒成立的是()A. B.1C.2 D.答案D解析a2b22ab，2(a2b2)(ab)216.a2b28，.故选D.(2)设a，b是两个实数，给出下列条件：ab2；a2b22.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)答案解析取a2，b1，则a2b22，从而推不出能够推出，即若ab2，则a，b中至少有一个大于1.用反证法证明如下：假设a1，且b1，则ab2与ab2矛盾因此假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1.题型1分析法的应用已知a0，证明： a2.本题证明时需要用分析法，在推导过程中用到平方法证明要证 a2，只需证 (2)因为a0，所以(2)0，所以只需证22，即2(2)84，只需证a2.因为a0，a2显然成立，所以要证的不等式成立方法技巧1分析法证明问题的策略(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证2分析法的适用范围及证题关键(1)适用范围已知条件与结论之间的联系不够明显、直接证明过程中所需要用的知识不太明确、具体含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导(2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的冲关针对训练(2018天津期末)已知xy0，m0.用分析法证明：(2)1.证明要用分析法证明：(2)1，只需2()21，只需()2210，即(1)20，因为x，y0，且(1)20成立，所以(2)1.题型2综合法的应用设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.当且仅当“abc”时等号成立(2)因为b2a，c2b，a2c，当且仅当“a2b2c2”时等号成立，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.方法技巧1利用综合法证题的策略用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型2综合法证明问题的常见类型及方法(1)与不等式有关的证明：充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用见典例(2)与数列有关的证明：充分利用等差、等比数列的定义通项及前n项和公式证明冲关针对训练(2017黄冈模拟)设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3(nN)其中m为常数，且m3.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比qf(m)，数列bn满足b1a1，bnf(bn1)(nN，n2)，求证：为等差数列证明(1)由(3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3.两式相减，得(3m)an12man，m3，an是等比数列(2)(3m)Sn2manm3，(3m)a12ma1m3，a11.b1a11，qf(m)，当nN且n2时，bnf(bn1)bnbn13bn3bn1.是首项为1，公差为的等差数列题型3反证法的应用直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A，C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形因菱形的对角线垂直且相互平分，所以由对角线的中点，求对角线的斜率，研究其是否垂直解(1)因为四边形OABC为菱形，AC与OB相互垂直平分可设A，代入椭圆方程得1，即t，所以|AC|2.(2)证明：假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为.因为k1，所以AC与OB不垂直所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形方法技巧反证法的适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少冲关针对训练(2017济南质检)若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数h(x)是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由解假设函数h(x)在区间a，b(a2)上是“四维光军”函数，因为h(x)在区间(2，)上单调递减，所以有即解得ab，这与已知矛盾故不存在1(2014山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要作的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根答案A解析因为“方程x3axb0至少有一个实根”等价于“方程x3axb0的实根的个数大于或等于1”，因此，要作的假设是方程x3axb0没有实根故选A.2(2017郑州模拟)设x0，P2x2x，Q(sinxcosx)2，则()APQ BP0，所以P2；又(sinxcosx)21sin2x，而sin2x1，所以Q2.于是PQ.故选A.3(2016邹平期中)若abc，则使恒成立的最大的正整数k为()A2 B3 C4 D5答案C解析abc，ab0，bc0，ac0，且acabbc.又2224，当且仅当abbc时等号成立k，k4，故k的最大整数为4.故选C.4(2017海淀区二模)一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确已知前四次输入密码分别为3406,1630,7364,6173，则正确的密码中一定含有数字()A4,6 B3,6 C3,7 D1,7答案D解析若正确的密码中一定含有数字3,6，而3,6在第1,2,3,4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾同理正确的密码中一定含有数字4,6或3,7不正确若正确的密码中一定含有数字1,7，而3,6在第1,2,3,4的位置都有，根据它们各自的位置均不正确，可得1在第三位置，7在第四位置故选D. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018无锡质检)已知m1，a，b，则以下结论正确的是()Aab Ba0(m1)，即a0，则三个数，()A都大于2 B至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2答案C解析由于2226，中至少有一个不小于2.故选C.3若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证：0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0答案C解析ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.故选C.4已知a0，b0，如果不等式恒成立，那么m的最大值等于()A10 B9 C8 D7答案B解析a0，b0，2ab0.不等式可化为m(2ab)52.52549，即其最小值为9，当且仅当ab时等号成立m9，即m的最大值等于9.故选B.5设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值 D无法确定正负答案A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)abcBa2b2c2abbcacCa2b2c22(abbcac)答案C解析c2a2b22abcosC，b2a2c22accosB，a2b2c22bccosA，a2b2c22(a2b2c2)2(abcosCaccosBbccosA)a2b2c22(abcosCaccosBbccosA)N时，恒有|anA|成立，就称数列an的极限为A.则四个无穷数列：(1)n2；n；.其极限为2的共有_个答案2解析对于，|an2|(1)n22|2|(1)n1|，当n是偶数时，|an2|0，当n是奇数时，|an2|4，所以不符合数列an的极限的定义，即2 不是数列(1)n2的极限；对于，由|an2|n2|，得2nN时，恒有|an2|，即2不是数列n的极限；对于，由|an2|1log2，即对于任意给定的正数(无论多小)，总存在正整数 N，使得nN时，恒有|an2|成立，所以2是数列的极限；对于，由|an2|，即对于任意给定的正数(无论多小)，总存在正整数N，使得nN时，恒有|an2|1，nN*，若不等式1恒成立，则n的最小值为_答案2解析n1时，结论不成立n2时，不等式为1，即220，a1，则有意义，不等式恒成立12设非等腰ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则A，B，C的关系是_答案2BAC解析，即b2a2c2ac，则有cosB，B60，A，B，C的关系是成等差数列，即2BAC.三、解答题13已知函数f(x)ax(a1)(1)求证：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明f(x)0没有负根证明(1)因为函数f(x)axax1(a1)，而函数yax(a1)和函数y在(1，)上都是增函数，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)假设函数f(x)0有负根x0，即存在x