2019版高考数学复习选4系列12.2参数方程学案文.docx

12.2参数方程知识梳理1曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数2常见曲线的参数方程和普通方程提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离诊断自测1概念思辨(1)直线(t为参数)的倾斜角为30.()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量()(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A44P39T1)直线(t为参数)被圆x2y29截得的弦长等于()A. B. C. D.答案B解析直线的普通方程为x2y30.圆的圆心为(0,0)，半径r3.圆心到直线的距离d.弦长为2.故选B.(2)(选修A44P24例2)已知点(x，y)满足曲线方程(为参数)，则的最小值是()A. B. C. D1答案D解析曲线方程(为参数)化为普通方程得(x4)2(y6)22，曲线是以C(4,6)为圆心，以为半径的圆，是原点和圆上的点的连线的斜率，如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA时，取最小值，设过原点的切线方程为ykx，则圆心C(4,6)到切线ykx的距离：d，即7k224k170，解得k1或k，的最小值是1.故选D.3小题热身(1)(2014安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos，则直线l被圆C截得的弦长为()A. B2 C. D2答案D解析由消去t，得xy40，由4cos24cos，C：x2y24x，即(x2)2y24，C(2,0)，r2.点C到直线l的距离d，所求弦长22.故选D.(2)(2015湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为(sin3cos)0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|_.答案2解析直线l的直角坐标方程为y3x0，曲线C的普通方程为y2x24.由得x2，即x，则|AB|xAxB|2.题型1参数方程与普通方程的互化(2014全国卷)已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值 (1)用公式法，代入消参法；(2)过P作PHl，垂足为H，当|PH|最大时，|PA|取最大值解(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d|4cos3sin6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan.当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.方法技巧将参数方程化为普通方程的方法1将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2cos21等2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，一定要保持同解变形冲关针对训练已知直线l的方程为yx4，圆C的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系(1)求直线l与圆C的交点的极坐标；(2)若P为圆C上的动点，求点P到直线l的距离d的最大值解(1)由题知直线l：yx4，圆C：x2(y2)24，联立解得或其对应的极坐标分别为，.(2)解法一：设P(2cos，22sin)，则d，当cos1时，d取得最大值2.解法二：圆心C(0,2)到直线l的距离为，圆的半径为2，所以点P到直线l的距离d的最大值为2.题型2参数方程的应用(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a. (1)方程组法；(2)代入点到直线的距离公式，采用分类讨论思想求解解(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos，sin)到l的距离为d.当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a8；当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a16.综上，a8或a16.方法技巧直线的参数方程在交点问题中的应用1若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|t1t2|，|t2t1|.2若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3.3若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1t20，t1t20.提醒：对于形如(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题见冲关针对训练冲关针对训练(2017湘西模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线l的参数方程为(t为参数，00)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2，故C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sincos1a20，由已知tan2，可得16cos28sincos0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上，所以a1.2(2017河南洛阳一模)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的普通方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin5，射线OM：与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解(1)因为圆C的参数方程为(为参数)，所以圆心C的坐标为(0,2)，半径为2，圆C的普通方程为x2(y2)24.(2)将xcos，ysin代入x2(y2)24，得圆C的极坐标方程为4sin.设P(1，1)，则由解得12，1.设Q(2，2)，则由解得25，2.所以|PQ|3.基础送分 提速狂刷练1(2017山西太原一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中为参数)，曲线C2：x2y22y0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：(0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)当0时，求|OA|2|OB|2的取值范围解(1)C1的普通方程为y21，C1的极坐标方程为2cos222sin220，C2的极坐标方程为2sin.(2)联立(0)与C1的极坐标方程得|OA|2，联立(0)与C2的极坐标方程得|OB|24sin2，则|OA|2|OB|24sin24(1sin2)4，令t1sin2，则|OA|2|OB|24t4，当0时，t(1