2019版高考数学大复习第七章立体几何第40讲直线平面垂直的判定及其性质优选学案.docx

第40讲直线、平面垂直的判定及其性质考纲要求考情分析命题趋势1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.2017全国卷，182017全国卷，192017江苏卷，152017浙江卷，19与直线、平面垂直有关的命题判断；线线、线面、面面垂直的证明；直线与平面所成的角的计算；由线面垂直或面面垂直探求动点的位置.分值：56分1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的！_任意一条_#直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的！_两条相交直线_#都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线！_平行_#ab2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是！_直二面角_#，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条！_垂线_#，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于！_交线_#的直线与另一个平面垂直l1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面内无数条直线都垂直，则l.()(2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个()(3)若两条直线垂直，则这两条直线相交()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()解析(1)错误直线l与内两条相交直线都垂直才有l.(2)正确过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直(3)错误两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面(4)错误两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而不是任意一条直线(5)错误内的一条直线如果与内的两条相交直线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直2设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由面面垂直的性质定理可知，当时，b.又因为a，则ab，如果am，ab，不能得到，故“”是“ab”的充分不必要条件故选A3已知m和n是两条不同的直线， 和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是(C)A，且mB，且mCmn，且nDmn，n，且解析，且mm或m或m与相交，故A项不成立，且mm或m或m与相交，故B项不成立mn，且nm，故C项成立mn，n，且m，故D项不成立故选C4PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有！_7_#对解析平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD平面PCD，平面PCD平面PBC，平面PAD平面PAB，平面PAC平面PBD，共有7对5在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的！_外_#心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的！_垂_#心解析(1)若PAPBPC，由勾股定理易得OAOBOC，故O是ABC的外心(2)由PAPB，PCPA，得PA平面PBC，则PABC.又由PO平面ABC知POBC，所以BC平面PAO，则AOBC，同理得BOAC，COAB，故O是ABC的垂心一直线与平面垂直的判定与性质(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直【例1】 (2017天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值解析(1)如图，由已知ADBC，可知DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角因为AD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得AP，故cosDAP.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)证明：因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD.又因为BCAD，所以PDBC，又PDPB，BC，PB平面PBC，所以PD平面PBC.(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1，由已知，得CFBCBF2.又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得DF2，在RtDPF中，可得sinDFP.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.二平面与平面垂直的判定与性质(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直【例2】 (2017全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积解析(1)证明：由BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如图所示，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而PAPD2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.三垂直关系中的探索性问题解决垂直关系中的探索性问题的方法同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明【例3】 如图，在三棱台ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC.(1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa；(2)若EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？若存在，请确定点G的位置；若不存在，请说明理由解析(1)证明：在三棱台ABCDEF中，ACDF，AC平面ACE，DF平面ACE，DF平面ACE.又DF平面DEF，平面ACE平面DEFa，DFa.(2)线段BE上存在点G，且BGBE，使得平面DFG平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD.CFEF，GFCE.在三棱台ABCDEF中，ABBC，DEEF.由CF平面DEF，得CFDE.又CFEFF，DE平面CBEF，DEGF.由GFCE，GFDE，CEDEE，可得GF平面CDE.又GF平面DFG，平面DFG平面CDE.此时，如平面图所示，O为CE的中点，EFCF2BC，由平面几何知识易证HOCFOE，HBBCEF.由HGBFGE，可知，即BGBE.1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面(C)A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m解析对于A，B，D项，均能举出m的反例；对于C项，若m，n，则mn，又n，m.故选C2如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是(B)A BCD解析由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错误故选B3如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD, ACCD，ABC60， PAABBC，E是PC的中点证明：(1) CDAE；(2)PD平面ABE.证明 (1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC，而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.4如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点(1)求证：CD平面SAD；(2)求证：PQ平面SCD；(3)若SASD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN平面ABCD？并证明你的结论解析(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD.又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，所以CD平面SAD.(2)证明：取SC的中点R，连接QR，DR.由题意知，PDBC且PDBC.在SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，所以QRBC且QRBC.所以QRPD且QRPD，则四边形PDRQ为平行四边形，所以PQDR.又PQ平面SCD，DR平面SCD，所以PQ平面SCD.(3)存在点N为SC的中点，使得平面DMN平面ABCD.连接PC，DM交于点O，连接PM，SP，NM，ND，NO.因为PDCM，且PDCM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以POCO.又因为N为SC的中点，所以NOSP.易知SPAD，因为平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，且SPAD，所以SP平面ABCD，所以NO平面ABCD.又因为NO平面DMN，所以平面DMN平面ABCD.易错点使用线面垂直的性质进行判定时犯错错因分析：当已知中给出了线面垂直，求证的是线线平行时，若忽略线面垂直的性质定理，则觉得论证无从下手，从而造成解题困难【例1】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在BD，B1C上，且MNBD, MNB1C，求证：MNAC1.证明 连接A1D，A1B，AC.MNB1C，B1CA1D，MNA1D.又MNBD，BDA1DD，MN平面A1BD.CC1底面ABCD，CC1BD.又BDAC，ACCC1C，BD平面ACC1.BDAC1.同理AC1A1B.又A1BBDB，AC1平面A1BD.又MN平面A1BD，MNAC1.【跟踪训练1】 (2016全国卷)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积解析(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.又PDDED，所以AB平面PED，故ABPG.又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，又PAPCP，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心，由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CDCG.由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2，在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2，所以四面体PDEF的体积V222.课时达标第40讲解密考纲对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等一、选择题1若，表示两个不同的平面，直线m，则“”是“m”的(B)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由面面垂直判定定理，得m，而时，内任意直线不可能都垂直于，因此“”是“m”的必要不充分条件故选B2已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(D)AABmBACmCABDAC解析如图所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有D项不一定成立故选D3在空间中，l，m，n，a，b表示直线，表示平面，则下列命题正确的是(D)A若l，ml，则 mB若lm，mn，则lnC若a，ab，则bD若l，la，则a解析对于A项，m与位置关系不确定，故A项错；对于B项，当l与m，m与n为异面垂直时，l与n可能异面或相交，故B项错；对于C项，也可能b，故C项错；对于D项，由线面垂直的定义可知正确4如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(A)A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析ACAB，ACBC1，AC平面ABC1.又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上5如图，在四边形ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥 ABCD中，下列命题正确的是(D)A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析在平面图形中CDBD，折起后仍有CDBD，由于平面ABD平面BCD，故CD平面ABD，CDAB，又ABAD，故AB平面ADC，所以平面ABC平面ADC.6如图所示，AB是O的直径，VA 垂直于O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(D)AMNABBMN与BC所成的角为45COC平面VACD平面VAC平面VBC解析对于A项，MN与AB异面，故A项错；对于B项，可证BC平面VAC，故BCMN，所以所成的角为90，因此B项错；对于C项，OC与AC不垂直，所以OC不可能垂直平面VAC，故C项错；对于D项，由于BCAC，VA平面ABC，BC平面ABC，所以VABC，因为ACVAA，所以BC平面VAC，BC平面VBC，所以平面VAC平面VBC，故D项正确二、填空题7已知不同直线m，n与不同平面，给出下列三个命题：若m，n，则mn；若m，n，则nm；若m，m，则.其中真命题的个数是！_2_#.解析平行于同一平面的两直线不一定平行，所以错误根据线面垂直的性质可知正确根据面面垂直的性质和判定定理可知正确，所以真命题的个数是2.8如图所示，在直角梯形ABCD 中，BCDC，AEDC，N，M分别是AD，BE的中点， 将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是！_#(填上所有正确说法的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN平面DEC；不论D折至何位置都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MNAB.解析如图，分别取EC，DE的中点P，Q，由已知易知四边形MNQP为平行四边形，则MNPQ，又PQ平面DEC，故MN平面DEC.正确取AE的中点O，易证NOAE，MOAE.故AE平面MNO，又MN平面MNO，则AEMN.正确D平面ABC，N平面ABC，又A，B，M平面ABC.MN与AB异面错误9如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADC90，且AA1ADDC2，M平面ABCD，当D1M平面A1C1D时，DM！2#.解析DADCAA1DD1，且DA，DC，DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM为正方形时，D1M平面A1C1D，DM2.三、解答题10如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BCAD，ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A1D1的中点(1)求证：DD1平面ABCD；(2)求证：平面A1BE平面ADD1A1；(3)若CF平面A1BE，求棱BC的长度解析(1)证明：因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，所以DD1AD，且DD1CD.因为ADCDD，所以DD1平面ABCD.(2)证明：因为ABD是正三角形，且E为AD中点，所以BEAD，因为DD1平面ABCD，而BE平面ABCD，所以BEDD1.因为ADDD1D，所以BE平面ADD1A1，又因