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文档简介

1.10 闭区间上连续函数的性质,一、最大值和最小值定理,二、介值定理,三、小结,高等数学,中国劳动关系学院,China Institute of Industrial Relation,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例1,证,由零点定理,例2,证,由零点定理,设 f (x)C ( a, b ),证明: 至少存在一点 x1 , xn , 使得,例3,a x1 x2 xn b,证,由介值定理, 至少存在一点 ( x1 , xn ), 使,证明方程 x5 3x =1, 在 x =1 与 x =2 之间,令 f (x) = x5 3x 1, x1, 2,则 f (x)C( 1, 2 ),又 f (1) = 3, f (2) = 25, f (1) f (2) 0,即 方程在 x =1 与 x =2 之间至少有一根.,故 至少存在一个 (1, 2), 使得 f ( ) = 0,至少有一根.,例4,证,至少有一个不超过 a + b 的正根.,设 f (x) = x a sin x b , x 0, a + b ,则 f (x)C( 0, a + b ),而 f (0) = 0 a sin 0 b = b 0,f (a + b) = (a + b) a sin (a + b) b,= a ( 1 sin (a + b) ) 0,例5,证,1) 如果 f (a + b)0, 则 = a + b 就是方程的根.,即方程至少有一个不超过 a + b 的正根.,定理, 至少存在一个 ( 0, a + b ), 使得 f ( ) = 0.,2) 如果 f (a + b) 0, 则 f (0) f (a + b) 0, 由根存在,综上所述, 方程在 ( 0, a + b 上至少有一个根,三、小结,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,思考题,下述命题是否正确？,思考题解答,不正确.,例函数,练 习
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