高等数学(微积分)课件--86多元函数极值与最值.ppt

1,8.7二重积分,一、二重积分的概念与性质 二、二重积分的计算 三、积分区域无界的广义二重积分*,2,曲顶柱体,引例1：曲顶柱体的体积,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,平顶柱体的高是固定的，平顶柱体的高是变化的,3,复习曲边梯形的面积计算,1：分割 2：近似计算 3：求和 4：求极限,4,“分割,近似,求和,取极限”思想,求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,播放,5,求曲顶柱体体积的具体步骤,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,6,平面薄片的质量,引例2：平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,7,二重积分的概念,定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数,将闭区域D任意分成n个小闭区域 1, 2,n ,其中i表示第i个小区域,也表示它的面积;在每个i上任取一点(i,i) ,作乘积 f(i,i)i (i=1,2,n),并作和,;如果当各小闭区域的直径中的最大值,趋于零时,这和的极限存在,则称此极限为函数在闭,区域上的二重积分， 记作,叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做面积元素,与,叫做积分变量，,叫做积分区域，,叫做积分和。,8,关于二重积分定义的说明,(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的. (2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. (3)在直角坐标系中,若用平行于坐标轴的直线网划分,则,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值,一般,D上的二重积分等于部分区域上的柱体体积,的代数和。,二重积分仅与积分区域D，被积函数f(x,y)有关,9,二重积分的性质(15),性质1,（k为常数）,性质2,性质3,性质4 若为D的面积,则,性质5 若在D上,则有,特别地:,10,课堂练习,设D是以A(0,1),B(3,1),C(3,0)为顶点的三角区域，,11,二重积分的性质(67),性质6(估值不等式) 设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则,性质7(二重积分中值定理) 设函数f(x,y)在闭区域D上连续,则在D上至少存在一点(,),使得,12,例题与讲解,例：不做计算,估计,其中D是椭圆闭区域,解,13,直角坐标下计算二重积分,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法page236，可以在直角坐标下计算二重积分。 X-型积分区域D：,X型,其中函数 、 在区间 上连续.,14,X-型积分区域上计算二重积分,将二重积分的值看作以D为底,以z=f(x,y)为曲面的“曲顶柱体”体积。,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,垂直x轴作平行截面。,得,15,化二重积分为累次积分,1：第一次关于y积分，y是积分变量，x为常量,积分结果是x的函数,2：第二次关于x积分，x是积分变量，积分结果是常数,16,Y-型积分区域上计算二重积分,Y-型积分区域D：,Y型,垂直y轴作平行截面,17,其它类型的积分区域,X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图，则必须分割.,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,18,矩形区域,19,例题与讲解,例：改变积分,的次序,解：,积分区域如图,20,例题与讲解,例：改变积分,的次序,解：,积分区域如图,21,例题与讲解*,例：改变积分,的次序,解：,原式,22,课堂练习,1：将二重积分 按2种顺序化为累次积分，积分区域D如下： (1)D是由y2=8x与x2=y所围成的区域 (2) D是由y=x2与y =2- x2所围成的区域 2:交换下列积分的次序,23,课堂练习答案,24,例题与讲解,例：求积分,其中D是由抛物线,y=x2和x=y2围成的闭区域。,解：,25,例题与讲解,例：求积分,其中D是以(0,0)、,(1,1)、 (0,1)为顶点的三角形区域。,解：,26,例题与讲解,例：计算积分,解：,27,28,求“曲顶柱体”体积的演示(1),求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,29,求“曲顶柱体”体积的演示(2),求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,30,求“曲顶柱体”体积的演示(3),求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,31,求“曲顶柱体”体积的演示(4),求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,32,求“