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解,高等数学练习题,利用“先二后一”计算.,2.计算椭球体,的体积 V.,解法1,解法2,利用三重积分换元法. 令,则,3 .求三重积分,解,4.计算,其中L为圆周,解 参数方程计算,则,第二型曲线积分的计算,1. 直接计算法,2. 利用格林公式化为二重积分计算,格林公式：P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，L+ 则,3.利用积分与路径无关的条件，选择便于积分的路径,D：单连域， P、Q在D 上具有一阶连续偏导数,且,5. 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),则,添加辅助线段,计算,其中L为上半圆周,沿逆时针方向.,6.,第二型曲面积分的计算,曲面,上侧,下侧,（上侧正下侧负）,曲面,前侧,后侧,(前侧正后侧负),右侧,左侧,曲面,光滑曲面,（上侧正下侧负）,(前侧正后侧负),光滑曲面,前侧 后侧,（单值）,（单值）,小结:,光滑曲面,右侧 左侧,(右侧正左侧负),解,这里P=0，Q=yz，R=zx,于是,注意：,解,x,y,z,代入初始条件f(1)=1,得,11.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解为,14.,解: 特征方程:,特征根 :,原方程通解:,(不难看出, 原方程有特解,该曲线的方程 .,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,由 得,由 得 C = 2,因此所求曲线方程为,线性常系数非齐次微分方程,根据解的结构定理 , 其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法, 待定系数法,结论：,在（1）中，若,则（1）具有形如,的特解，其中 与 同次，k按不是特征根、是 特征单根、是特征重根依次取 0、1或2.,特别是,特解,解,再求导，得,初始条件为,特征方程与特征根为:,对积分方程两边求导，得,14: 设,提示: 对积分换元 ,则有,解初值问题:,答案:,级数的收敛、求和与展开,基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,15.,判别下列级数的敛散性:,解,利用比值判别法, 可知原级数发散.,用比值法, 可判断级数,再由比较法可知原级数收敛 .,收敛,用比值判别法可知:,时收敛 ;,时, 与 p 级数比较可知,时收敛;,时发散.,时发散.,16下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,原级数发散.,故原级数绝对收敛.,因,单调递减, 且,但,所以原级数仅条件收敛 .,由Leibniz判别法知级数收敛 ;,因,所以原级数绝对收敛 .,求幂级数收敛域的方法, 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R ,再讨论, 非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,17.求下列级数的敛散区间:,解:,当,因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .,故收敛区间为,解: 因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,18. 求幂级数,解,先求出收敛区间,则,设和函数为,解 级数缺少偶次幂的项，,级数收敛.,级数发散.,收敛半径,因而级数发散.,于是级数的收敛域为,则,将上式两边求导得,故,1. 函数的幂级数展开法,(1) 直接展开法, 利用泰勒公式 ;,(2) 间接展开法, 利用幂级数的性质及已知展开,2. 常用函数的幂级数展开式,式的函数 .,当 m = 1 时,20. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,解,不必应用泰勒公式求，而是应用sinx,cosx的马氏展式求,解:,周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数,(1) 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为,(2) 周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,22 设,的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.,是周期为2 的周期函数,它在,解: 若不计,周期为 2 的奇函数,因此,n1,根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:,级数的部分和,n2,n3,n4,逼近 f (x) 的情况见右图.,n5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,广义积分的判别法,1. 几个特殊的积分,2.广义积分的比较判别法,(4)比较判别法的极限形式,瑕积分与无穷积分有类似的比较判别法.,狄利克雷判别法；阿贝尔判别法.,18. 计算反常积分,解:,23.判别无穷积分,解:,的敛散性 .,由比较判别法 可知原积分收敛 .,24 讨论反常积分,的敛散性 .,提示: 当 x1 时, 利用,可知原积分发散 .,25.判别瑕积分,的敛散性 .,解:,由比较判别法 可知原积分收敛 .,26 判别无穷积分,解:,根据极限判别法 , 该积分收敛 .,27. 判别无穷积分,的敛散性 .,解:,根据极限判别法 , 该积分发散 .,28. 判别瑕积分,解:,利用洛必达法则得,根据极限判别法 , 所给积分发散 .,(极限审敛法）,则有