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第八节 常系数非齐次线性微分方程,一、 型 二、 型 三、小结,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,一、 型,二阶常系数非齐次线性方程,一、 型,对应齐次方程,设非齐方程特解为,代入原方程,分析：,二阶常系数非齐次线性方程,一、 型,对应齐次方程,设非齐方程特解为,代入原方程,分析：,二阶常系数非齐次线性方程,一、 型,对应齐次方程,设非齐方程特解为,代入原方程,分析：,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,二阶常系数非齐次线性方程,一、 型,对应齐次方程,解,二阶常系方程 ,所以设特解 y* =b0x+b1.,代入原方程得:,b0x 2b0 3b1=3x+1.,则b0=1, b1=1/3.,所以特解 y* = x+1/3.,P342-1,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例2,P343-2,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步 将 f (x) 转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,共轭,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例3,P345-3,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）,注意,例3.,的一个特解 .,解: 本题,特征方程,故设特解为(课本方法),不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,练习,解 对积分方程两边求导,再求导得,初始条件为,特征方程和特征根为,解得 a =1/2,再代入初始条件可得,1. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,练习,2. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,三、小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.,作业：P347: 1-(1)(3)(5)(7)(9)；2-(2)(4) 。,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,思考题解答,设 的特解为,的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,例4 一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子8m 另一端离开钉子12m ，分别在以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间： （1）若不计钉子对链条所产生的摩擦力； （2）若摩擦力为1m长的链条的重量.,解 (1)以钉子处为原点, s 轴竖直向下，设在t 时刻，链条较长一段下垂s m，且设链条的密度均匀分布为 ，则向下拉链
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