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文档简介

曲线的凹凸性,一、曲线的凹凸性,二、曲线的拐点及其求法,一、曲线的凹凸性,问题: 如何研究曲线的弯曲方向?,凹（上凹）,凸（下凹）,定义,如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的下方，则称此曲线在该区间内是凹的（或称上凹）；,如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在该区间内是凸的（或称下凹）.,x1,x2,x,y,o,1,2,凹（上凹）,凸（下凹）,定理2.12,例1,解,例2,例2,解,注意到,例3,例3,解,定义： 连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。,说明： 拐点是曲线凹凸的转折点，那么曲线的二阶导数 f (x) 由大于零变成小于零，或由小于零变成大于零，这时拐点上的二阶导数 f “(x) 一定等于零或者不存在.,解:,说明:,若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变.,.,判定曲线 y=f(x) 的凹凸及拐点的步骤：,1、确定函数的定义域；,2、求出函数的二阶导函数 f (x)；并求出二阶导数值为零的点及二阶导数不存在的点；,3、由上述特殊点把所讨论的区间分成几个子区间，在各个子区间及分界点处，根据定理结论来判断函数的凹凸性及拐点，并写出凹凸区间和拐点坐标。,例5.,解,拐点,例6,例6,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,内容小结,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,思考题,1.,2.,.,曲线,的凹区间
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