高等数学第五版上册.ppt

高 等 数 学,第五版 上册 同济大学应用数学系 主编,2,本学期学习内容,第二章 导数与微分,第三章 微分中值定理与导数的应用,第四章 不定积分,第五章 定积分,第六章 定积分的应用,第一章 函数与极限,3,1.1 映射与函数 1.2 数列的极限 1.3 函数的极限 1.4 无穷小与无穷大 1.5 极限运算法则 1.6 极限存在准则 两个重要极限 1.7 无穷小的比较 .,第一章 函数与极限,4,1. 集合概念 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.,1.1 映射与函数,有限集,一 集合,5,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,6,2. 集合的运算,7,8,9,注意,A与B的直积 AB,(x,y)xA且yB,例. R R=,(x,y)xR且yR,表示 xoy 面上全体点的集合,R R常记为 R2,10,3. 区间、邻域,区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,11,称为半开区间,称为半开区间,以上都是有限区间，以下是无限区间：,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,12,邻域:,注意：邻域总是开集.,记作,13,映射概念 定义：设 X、Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f， 使得对X 中每个元素x，按法则f，在Y 中有唯一确 定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作,二 映射,f : X Y,14,X到Y上的映射(满射)：若 Rf =Y，即Y中任意元素y都是X中 某元素的像 单射：若对X中任意两个不同元素 x1 x2 ，它们的像 f(x1) f(x2 ) 一一映射(双射)：若映射 f 既是单射又是满射,15,2. 逆映射与复合映射,g : Rf X,定义域：,值域：,16,g : X Y1， f : Y2 Z,17,1. 函数的概念,三 函数,例 圆内接正多边形的周长,18,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,19,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,20,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫多值函数,函数的表示法：公式法、图形法、表格法,21,例1 求 y =arcsin 的定义域和值域.,解：,函数的定义域为:,得定义域为 x 0 且,解：,例2 求,的定义域 .,22,定义域不同的两个不同的函数,23,定义域相同而对应规则不同的两个不同的函数,24,25,值域1，0，1.,例 符号函数,定义域(,+).,1,1,o,x,y,26,例 取整函数(阶梯曲线) y = x 为不超过 x 的最大整数部分. 如图:,注: 分段函数虽有几个式子, 但它们合起来表示一个函数, 而不是几个函数.,实际上是取左端点.,o,x,y,1,2,1,1,2,27,o,(1) 函数的有界性:,例 y=sin2x, y=cosx 在（-,+)上均为有界函数, y=x, y=x2 在(-,+)上无界.,2. 函数的特性,28,(2) 函数的单调性:,例：y = x, y = ex 在（-,+)内单调增加。,29,(3) 函数的奇偶性:,偶函数,30,奇函数,31,(4) 函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,在(无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期。,32,一个周期函数有无穷多个周期， 如 y=sin x，2,4均为周期。,一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数 都存在最小正周期. 如: f(x) = c,例 设 c 0 , x(-, +), f(x+c) = -f(x), 证明f(x)为周期函数。,证明: f(x+2c)=f(x+c)+c)=-f(x+c)=f(x) f(x)为周期为2c的函数.,事实上, 对任何 y(-, +)都有 f(x+y)=f(x).,注意,33,3. 反函数,习惯上, 反函数 x= (y)写成 y = (x) = f 1(x).,定义 设有函数y=f(x)(xD)，其值域R=f(D).若对于R中每一个y值, 都可由方程f(x)=y确定唯一的x值: x=(y), 称为y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y), 读“f逆” 。,34,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,35,例1,例2 证明若函数 y = f (x)是奇函数且存在反函数 x = f 1(y), 则反函数也是奇函数。,证明：,的反函数是,反函数是奇函数。,例3,解: 当x0时,y1,当x0时,y1,x=y-1,36,4. 复合函数,定义: 设函数y=f(u),uU，函数u=(x), x D, 其值域 为(D)=u|u= (x), xD U，则称函数y=f(x)为 x的复合函数.,代入法,37,注:,不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,38,5. 初等函数,定义: 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。,例：,不是初等函数,为初等函数,不是初等函数,为初等函数,39,一般来说，分段函数不是初等函数，但例1所示的分段函数是初等函数。,例1,复合而成的复合函数,那就是说，原函数与,是同一个函数，因此它也是初等函数。,40,基本初等函数,1.幂函数,41,2.指数函