高等数学课件第四章-2.ppt

数 学 物 理 方 法,第四章 解析函数的幂级数表示,辅 导 课 课 件,一.本章知识提要 二.学习与考试要求 三.本章重点与难点 四. 本章疑难解析 五.本章典型例题 六.本章习题解析 七.本章测试题,本章目录,一.本章知识提要,二. 学习与考试要求,理解级数收敛、发散及和的概念；了解级数收敛的必要与充分 必要条件；了解级数绝对收敛与收敛的关系,(2) 理解幂级数收敛圆与收敛半径的概念，掌握幂级数收敛半径 的求法,(3) 掌握将一个解析函数展为幂级数的基本方法，记住一些常用 初等函数的泰勒展开式,(4) 理解罗伦级数的概念为罗伦级数,三 .重点与与难点,本章的重点是幂级数收敛半径的求法，一个解析勒级数及在圆环,域内解析函数的罗朗展开,难点是将一个解析函数展为泰勒级数或罗伦级数,四.本章疑难解析,2.什么时候复数项级数具有可结合性与可交换性?,答: 一般的复数项级数与实数项级数一样不具有项的可结合性 与可交换性,3 求无穷级数的和与求序列极限之间有什么联系?,答: 与实级数收敛性概念一样，无穷级数前n项的和定义为 部分和，部分和序列的敛散性确定无穷级数的敛散性,6.复变量函数展为泰勒级数的条件与实函数情形有何不同?,答 复变量函数展为泰勒级数的条件比实函数时要弱得多,因为f（z）解析就可以保证无限次可微与各阶导数的连续性；,而在实函数情形，要实现任意阶可导已是很困难的了，要证明余项 趋于零则,更为困难所以，复变量函数展为泰勒级数的实用范围就要 广阔得多,8 奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?,答 奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项，偶函数的泰勒级,数只含z的偶次幂项因此，在用直接展开法展开奇偶函数的泰勒,级数时，可利用这一点来简化计算,五. 本章典型例题,复数项级数的敛散性可以由两个实数项级数的敛散性确定因此， 高等数学课程中关于实级数判敛的方法与技巧都可以应用,例1.(1),(2),例2. 判别下列级数是否收敛?是否绝对收敛?,三、解析函数展为幂级数的方法分析,五、解析函数在圆环域中的罗伦级数,要将一个解析函数展成罗伦级数，需要考虑的问题要比展为泰勒级,数要多首先罗伦级数是在圆环域内展开的，一个函数在不同的圆环,域内有不同的罗伦展开式；因此，给定一个函数后，第一步是找出它,的奇点，进而确定函数可以在哪些圆环城内展为罗伦级数其次是展,开的方式，也分直接展开法和间接展开法与泰勒级数展开方法类似,六. 本章测试题,填空题：,1.形如,的泰勒级数,设收敛半径为,则收敛域可表为_,2.,的泰勒级数为_,3. 已知,则,_,4. 级数,的收敛半径为,5. 级数,的收敛半径为,6. 幂级数,的收敛半径为,7。幂级数,的收敛半径为,8. 级数,的收敛半径为,9. 幂级数,的收敛半径为,10. 幂级数,的收敛半径为,在,11。设,在,解析,内的幂级数展开式.为_.,是距,最近的奇点,则泰罗级数,的收敛域为_,12. 函数,13. 级数,的和函数为,14. 函数,在,内的幂级数展开式为_.,15级数,的和函数为,16.,为,的孤立奇点,且为_点,17. 设,的奇点,且该奇点为_点.,18 设,的奇点为 _且该奇点为 _,19如果,为f(z)的有限孤立奇点，则,为f(z)的可去奇点的充分必要条件为_,20函数,的零点,是 _阶零点,21.,为,的孤立奇点,且为_点,22,的 _奇点,23如果,为f(z)的有限孤立奇点，则,为f(z)的极点的充分必要条件为_,24. 函数,的零点,是 _阶零点,25.,为,的孤立奇点,且为_点,二。选择题,1.复数项级数,的收敛范围 ,的收敛半径为【 】,2. 级数,3.,是函数,的【 】,A. 本性奇点 B 可去奇点 C 一阶级点 D 二阶级点,4. 级数,5. z=0 点是函数,的收敛半径为【 】,的【 】,A. 本性奇点 B 可去奇点 C 一阶级点 D 二阶级点,6. 函数,在z =0 点是( ),A. 本性奇点 B 可去奇点 C 一阶级点 D 二阶级点,7. z=1 是函数,的( ),A. 本性奇点 B 可去奇点 C 一阶级点 D 二阶级,8. z=1 是函数,的( ),A. 本性奇点 B