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第六节 几何形体上积分的应用,一、几何应用,二、物理应用,几何形体上的积分：,重积分,对弧长的曲线积分,对面积的曲面积分,二重积分,第一类曲线、曲面积分,三重积分,空间区域 的体积,平面或空间曲线段L或 的弧长,空间曲面片的面积,平面区域D的面积,的度量,一、 几何应用,（1）用三重积分计算，,.,利用柱面坐标,有,例1,解,（1）用三重积分计算,用先二后一(截面法)计算,有,（2）用二重积分计算,圆柱体,曲顶柱体,例2 求半径为a的球的表面积,解,上半球面,取坐标如图，,于是,瑕积分,二、物理应用,以平面薄片为例，推出质量，重心，转动惯量，引力等公式.,1.平面薄片的质量,平面薄片的质量为,其他几何形体类似.,2.平面薄片的重心,由力学知道,若质点系由m个质点组成，,其质量分别为,则质点系的,重心坐标为,其中,分别是质点系对y轴和x轴的静力矩.,整个薄片对y 轴和对x轴 的静力矩是（由微元法）,将薄片划分为若干小块,把它们看成质点系.,取一个小块,看成一个质点，其质量为,它对y轴和x轴的静力矩为,平面薄片的重心坐标为,静力矩,求位于两圆,之间的均匀薄片的重心.,由于对称性有,薄片面积为,由公式得,例3,解,设面密度为,重心坐标为,特别地，当薄片是均匀密度时，,这时重心也称为形心.,重心坐标为,类似有立体 的重心坐标为,求均匀半球体,的形心.,由对称性，形心在z轴上，所以,例4,解,形心坐标是,（球面坐标）,3.平面薄片地转动惯量,平面薄片对x 轴和对y 轴地转动惯量为,和,由力学知，质点对轴的转动惯量,求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为,)对其直径边的转动惯量.,解 取坐标系如图，,（极坐标）,转动惯量为,例5,例6 求半径为R、中心角为 的圆弧 L,对于它的对称轴的转动惯量（设线密度为,常量 ）.,解 取坐标系如图，,称轴(x轴)的距离平方为,所以有,圆弧上的点(x,y)到对,4.平面薄片(在xoy面)对空间质点的引力,平面薄片对质点的引力的三个分力是,小 结,几何形体的度量：,一、 几何应用,1.平面区域和曲面的面积,2.曲线弧的长度,3.立体的体积,二、物理应用,1.重心（形心）,2.转动惯量,3.引力,通过本节的学习应从中领悟用元素法 建立简单的几何量和物理量的积分表达 式的方法.,作 业,p.132 习题10-1 5.,p.159 习题10-4
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